新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 课件

函数的应用 3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型[学习目标]1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题. 栏目索引CONTENTSPAGE1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功 预习导学挑战自我，点点落实[预习导引]1.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增 图象的变化随x增大逐渐随x增大逐渐随n值而不同变陡变缓 2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是，但不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会.(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.增函数增长速度越来越慢 课堂讲义重点难点，个个击破 答案D (2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907 关于x呈指数函数变化的变量是________.解析以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.y2 规律方法在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜xn＜ax. 跟踪演练1如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是() A.指数函数：y＝2tB.对数函数：y＝log2tC.幂函数：y＝t3D.二次函数：y＝2t2解析由题中图象可知，该函数模型为指数函数.答案A 要点二 几种函数模型的比较例2某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8(万)18(万)30(万) 如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？解建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1. (2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)， 由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系. 规律方法1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣. 跟踪演练2函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图.(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；解由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx， (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).解当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x).函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长. 当堂检测当堂训练，体验成功12345D1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A.y＝100xB.y＝log100xC.y＝x100D.y＝100x解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 123452.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A.2x＞x2＞log2xB.x2＞2x＞log2xC.2x＞log2x＞x2D.x2＞log2x＞2x解析方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x. 12345方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.答案B 123453.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是() 12345解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.答案D 123454.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A.300只B.400只C.500只D.600只解析由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.A 123455.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.解析设解析式为y＝kx＋b， 12345 课堂小结三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.