新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 导学案

3．2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．[预习导引]1．三种函数模型的性质  函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.要点一 函数模型的增长差异例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(  )A．y＝10000xB．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝x(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．答案 (1)D (2)y2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜xn＜ax.跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(  )A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数．要点二 几种函数模型的比较例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示： 年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，将点坐标代入，可得解得a＝，b＝，c＝－42.则g(x)＝·x－42，故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．2．理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．跟踪演练2 函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图．(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx，(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)． 函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(  )A．y＝100xB．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是(  )A．2x＞x2＞log2xB．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(  )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到(  )A．300只B．400只C．500只D．600只答案 A解析 由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)， 得y＝300.5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．答案 y＝－x＋50(0＜x＜200)．解析 设解析式为y＝kx＋b，由解得k＝－，b＝50，∴y＝－x＋50(0＜x＜200)．三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．一、基础达标1．下列函数中，增长速度最慢的是(  )A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x答案 B解析 对数函数增长的越来越慢，故选B.2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为(  )答案 B解析 ∵v1＜v2，∴前半段路程用的时间长．3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(  ) A．y＝0.9B．y＝(1－0.1)mC．y＝0.9mD．y＝(1－0.150x)m答案 C解析 设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9.∴x年后的湖水量为y＝0.9m.4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(  )A．y＝0.2xB．y＝(x2＋2x)C．y＝D．y＝0.2＋log16x答案 C解析 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件．答案 1.75解析 由得∴y＝－2×0.5x＋2，所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75万件．6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．答案 ②④解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt ，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．7．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费y，旅游原价为a.甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)a＝(x＋3)a；乙旅行社收费：y＝(x＋2)a.∵(x＋2)a－(x＋3)a＝(x－1)a，∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．当x＞1时甲旅行社更优惠．二、能力提升8．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是(  )A．2x＞x＞lgxB．2x＞lgx＞xC．x＞2x＞lgxD．x＞lgx＞2x答案 A解析 ∵x∈(1,2)，∴2x＞2.∴x∈(1，)，lgx∈(0,1)．∴2x＞x＞lgx.9.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(  ) 答案 B解析 取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v＝2000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.答案 e6－1解析 由题意2000ln＝12000.∴ln＝6，从而＝e6－1.11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.(1)求出V关于Q的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．解 (1)设V＝k·log3，∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2700，所以，一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．三、探究与创新 12．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明．(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？解 设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水．13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L2＝10lg＝10lg1＝0(分贝)；耳语的强度水平为L3＝10lg＝10lg102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L4＝10lg＝10lg104＝40(分贝)；(2)由题意知0≤L1＜50， 即0≤10lg＜50，所以1≤＜105，即1×10－12≤I＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I的范围为[1×10－12,1×10－7)．