几类不同增长函数类型

....《几类不同增长的函数类型（1）》教学设计天津市　张广民一、内容和内容解析 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》中第三章“函数的应用”3.2.1《几类不同增长的函数模型》的第1课时．学生在本册书的第二章已经学习了指数函数、对数函数以及幂函数等基本初等函数的概念、图象和性质，本节课是对这些基本初等函数性质的进一步拓展和应用，同时也为下一节继续研究函数的增长性和“函数模型的应用”奠定了基础． 教科书本节课安排了投资回报和选择奖励模型两个实例，目的是让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长的快，一次函数比对数函数增长的快．教科书的例1是投资回报模型，编者的意图是让学生通过此题体会指数爆炸；教科书的例2是选择奖励模型，教材将三个函数增长模型，，同时呈现给学生，主要目的是让学生感受它们增长速度的差异． 教科书对几种不同增长的函数模型的认识和应用，都是通过实例来实现的，这一方面可以让学生体会到数学在生活实际和生产实践的应用价值，另一方面也给学生提供了更多的从实际问题中发现和建立函数模型的机会，培养学生的函数建模能力． 本节课蕴涵了丰富的数学思想和方法，如借助于表格和图象来研究基本初等函数的增长性，体现了数形结合的数学思想；从实际问题中抽象出函数模型，体现了函数建模的思想．因此本节课是渗透数学思想，培养学生理性思维能力和数学应用意识的良好载体．此外，本节课借助于信息技术手段，让学生按照由特殊到一般，由具体到抽象的思路来研究函数的增长性，也是培养学生信息素养及分析和解决数学问题能力的良好载体． 基于以上对本节课教学内容的分析，确定本节课的教学重点为：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸和对数增长． .... ....二、目标和目标解析 （一）教学目标 1．通过对具体的实际问题的探究，认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸和对数增长． 2.通过利用函数图象和表格来研究函数的增长性，体会数形结合思想． 3．通过对生产生活中具体实例的研究，体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用． 4.在实际问题转化为数学问题的过程中，培养学生的函数建模能力． 5.通过利用电子表格等信息技术手段，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，增强使用技术手段研究数学问题和实际问题的能力． 6.通过小组合作的学习方式，培养团结、合作的意识和表达交流的能力． （二）教学目标解析 1．本节课的内容脉络是：先复习一次函数（斜率大于零）、二次函数（抛物线开口向上）、指数函数（底大于）、对数函数（底大于）的图象和性质．通过对图象的观察，体会几类不同函数递增方式的不同（二次函数研究其对应的单调递增区间），为后面的学习做出铺垫．然后通过对三个实例问题的解决，让学生体会几类不同的增长型函数在实际问题中的应用，并进一步体会其不同之处.本节课以实际应用问题为主要研究的对象，以图象和数表为研究的主要依据，通过对图象以及数据的观察、分析、探究、归纳和概括得到所对应的结论，进而加强对几类函数的认识．.... .... 2．这节课突出了数形结合的数学思想．学生通过这节课的学习，加强了通过对图象的研究认识问题、研究问题和解决问题的能力． 3.这节课也渗透着函数与方程的数学思想，通过将实际问题转化为函数问题，通过研究函数进而解决实际问题，让学生在学习和研究的过程中体会数学建模的过程和处理的方式． 4．通过这节课的学习，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．通过小组合作的方式，也可以增强学生们之间的合作意识，培养学生的综合能力． 三、教学问题诊断分析 本节课涉及到的一次函数、二次函数学生在初中已学过，对其图象和性质学生非常熟悉；指数函数、对数函数和幂函数这三类基本初等函数的模型学生在本册书的第二章也学过，已基本掌握了它们的概念、图象和性质．并且在前面的学习中，学生也熟悉了研究函数性质的一般方法并对数形结合思想有了初步的了解． 学生前面的学习主要是针对某一类函数进行研究，很少将其综合在一起，学生没有或者很少有对这几类函数不同变化趋势的理解．所以学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．另外，在第二章中，主要是从函数的基本模型认识函数，而函数在生活、生产中的实际应用相对较少．学生在研究具体问题时，如何选择恰当的模型函数分析和解决实际问题是另一个困难．再有，这节课的内容由于涉及到实际问题，会有大量的数据，课上将采用excel做数据处理，学生对于excel软件的操作是否熟悉也会影响学生对内容的掌握和吸收． 这节课学习的对象是天津市高一年级的学生．是天津市市直属重点中学，学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．在几个应用问题的理解上不会出现太大的问题． .... ....综上所述，确定这节课的教学难点为： （1）对不同增长的函数模型的认识； （2）选取适当的函数模型以研究具体的增长模式； 针对以上这些问题，课堂形式将采用小组合作学习的方式，指定小组长，并提前对小组长做软件使用的适当培训．小组中的同学还可以取长补短，在选取函数模型，研究不同模型的增长方式做进一步的讨论和探究． 四、教学策略分析 1.教法和学法分析 《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，本节课拟采用小组合作学习的教学组织形式．教师利用问题串来引导学生开展合作探究的学习活动． 在教学前根据学生的具体情况将学生分为六个小组，每个小组指定一名excel和几何画板使用较为熟练的同学作为组长．考虑到课堂教学时间的限制，以及本节课的重点是几类不同增长的函数类型之间的联系与区别，因此在小组探究和讨论的过程中回避了学生自己制作数据表和绘制散点图以及绘制函数图象的过程．教师在课前已经制作好相应的文件和文档提供给学生，让学生将重点放在对不同增长的函数类型的研究上． 为了控制好课堂的研究方向，也为了提高小组讨论的效率，本节课设置了学案．在学案中为学生的讨论和探究设置了一系列的参考问题，问题的设置也始终围绕着这节课的重点．也为了培养学生的自主创新能力，建立学生积极主动、勇于探索的学习方式，在每一个问题之后都留给学生自己发现问题和解决问题的空间，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习的过程中，养成独立思考、积极探索的学习习惯． .... ....基于以上原因，本节课将从复习几个常见的函数类型入手，然后通过对课本例一和例二的处理，理解选取不同函数模型的不同增长方式．在例题一的处理上，除了课本中涉及的几个问题外，还特意增加了对于“日回报图”与“日增量图”的比较以及“日回报图”与“累计回报图”的比较，以便让学生对不同增长函数类型的理解．在例题二的处理上，增加了对模型 在奖励的过程中的不足之处的分析，并引导学生就如何实现更有效的分配进行探究，也是为了让学生更好的体会对数型增长方式以及其他类型增长方式的特点． 2.教学支持条件分析 根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，本节借助信息技术工具，以“excel”和“几何画板”软件为平台，绘制具体的指数函数、对数函数和幂函数等基本初等函数的图象并列出相应的数据表格，通过数形结合开展数学探究活动．每个小组配置一台电脑，教师有一台电脑作为演示．为了提高课堂的效率和把握课堂教学的重点，本节课还设置了学案． 四、教学过程设计    （一）复习旧知，体会不同函数模型增长方式 引入：我们已经学习过哪些具有单调递增区间的函数模型？通过具体函数图象，观察他们在对应的递增区间内递增变化的规律． 一次函数：()； 二次函数：()； 指数函数：()；.... .... 对数函数：(). 师生活动：教师提问，学生思考、回答．教师根据学生回答的情况加以补充，几类函数图象运用几何画板显示，观察不同函数模型的不同变化趋势，尤其是体会指数函数的“爆炸式”递增方式．    【设计意图】通过复习不同的函数模型，熟悉不同函数类型对应着不同的增长方式，为后面处理实际问题做好铺垫． （二）深入研究，应用函数模型确定合适的方案 问题1：（课本例一） 假设你有一笔资金进行投资，现有三种方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0．4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 师生活动： 教师引导学生写出三个方案所对应的日回报函数模型： 三个方案的日回报函数：其中表示天数，表示日回报．.... .... 方案一：（） 方案二：（） 方案三：（） 图象如下：    分两个部分同时进行下面的探究和讨论． 其中第1、2、3小组研究方向一： 通过研究三个方案的日回报，体会它们的增长情况，为选择投资方案提供依据． 教师提出下面几个研究的方向供参考： 1.    通过日回报数据表，得出从日回报的角度来看的投资选择方案； 2.    通过日回报散点图验证上面得到的结果，并给出结论； .... ....3.    通过日回报增量数据以及散点图分析三个方案所对应的函数增长方式； 4.    比较日回报函数模型与其所对应的增量函数模型； 5.    其他学生想到的问题. 三种不同方案所得日回报的增长情况：（天）方案一方案二方案三（元）增加量（元）（元）增加量（元）（元）增加量（元）140　10　0.4　240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4……………………………………30400300105040050010 第4、5、6小组研究方向二：通过研究累计回报，体会它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．.... .... 教师提出下面几个研究的方向供参考： 1.    通过累计回报数据表（见“学生文档.xls”），发现从累计回报的角度来看的投资选择方案； 2.    通过累计回报散点图验证上面得到的结果，并给出结论； 3.    通过累计回报数据以及散点图分析三个方案所对应的函数增长方式. 除此之外，大家所想到的问题． 其他备案：    可能有学生会提出对“日回报图与日增量图”与“日回报图与累计回报图”的比较，得到一次函数模型的增量是常数，二次函数模型的增量是一次函数模型，指数函数模型的增量还是指数函数模型；相反，常数函数模型的累计是一次函数模型，一次函数模型的累计是二次函数模型，指数函数模型的累计还是指数函数模型. 下面列出累计回报数据表：（天）方案一方案二方案三日回报（元）累计回报（元）日回报（元）累计回报（元）日回报（元）累计回报（元）1404010100.40.42408020300.81.234012030601.62.8440160401003.26540200501506.412.46402406021012.825.27402807028025.650.88403208036051.210294036090450102.4204.41040400100550204.8409.2.... ....……………………………………3040120030046505040200050012750通过日回报图与日增量图，以及日回报图与累计回报图，引导学生得出下面的结论： 常数型函数的增量为常零型，累计为一次型；一次函数的增量为非零常数型，累计为二次型；指数函数的增量和累计仍然为指数型. 【设计意图】 1.通过两个大组分别研究，提高课堂效率，培养学生研究和交流的能力与素养； 2.对于方向一，由于三个函数模型较为简单，故采用先确定函数模型，再进一步讨论处理的方法．由于已经确定了函数，采取了更为习惯的先做出图象研究，然后列表，研究增量关系，并通过绘制散点图得到更为形象的图形关系．这一点的处理与课本上的方式略有不同； 3.通过比较三种方案的不同，让学生探究和发现不同增长型函数的增长差异； 4.对于方向二，学生较难直接写出三种方案所对应函数模型，故在操作上先列表，再根据表中的数据绘出图象，体会不同增长型函数的增长差异． 问题2（课本例二）.... .... 某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：,,，其中哪个模型能符合公司要求？ 师生活动： 1.    教师引导学生发现上述问题中对模型的几个制约． （1）递增模型； （2）销售利润（自变量）大于等于10万元，小于等于1000万； （3）奖金总数不超过5万元； （4）奖金不超过利润的. 2.      教师为每个小组准备好了三个函数的图象，每个小组根据给出的图象探究、讨论，找出合适的模型并做出解释． 教师提供以下几个问题作为参考： （1）三个模型中哪两个不符合问题的要求，为什么？ （2）哪个方案符合问题要求，如何判断的？ （3）如何判断满足奖金不超过利润的？.... .... （4）满足问题要求的模型有没有不足之处，是否可以找到更为合适的模型？ （5）其他的问题. 提供的图象：【设计意图】 这个问题是通过限定一些条件的情况下，判断给定的线性函数、对数型函数和指数函数是否满足要求的问题． 1．   通过这个问题，使学生进一步体会不同增长型函数的增长特征． 2．   学会将实际问题的限制转化为数学问题的限制，从而解决实际问题． 3．   通过对具体函数图象的解释，将数学问题回归为实际问题． 4．   通过修订给出的指数函数模型，让学生再次体会指数型函数增长形式． （三）归纳反思，总结几类不同增长的函数模型 通过这节课，我们研究了下面几类不同增长的函数模型，请总结他们不同的增长方式： 1.    线性函数；.... .... 2.    二次函数； 3.    对数函数； 4.    指数函数 师生活动： 教师提出问题，请同学总结并幻灯片演示与板书 附：幻灯片投影 函数模型图象示例增长特点直线上升当时，随着的增大，增长越来越“快”增量变化常数型一次型 函数模型.... ....图象示例增长特点随着的增大，增长越来越剧烈，“爆炸式”增长随着的增大，增长越来越平缓增量变化指数型递减【设计意图】   教师引导学生归纳总结这节课的重点：几类不同增长的函数模型的区别与联系，让学生进一步体会线性增长、指数型的“爆炸式”增长以及对数型的“平缓式”增长．五、目标检测设计   1．四个变量 ， ， ，随变量 变化的数据如下表：05101520253051305051130200531304505594.4781785.233733 5305580105130155关于呈指数型函数变化的变量是      ； ,关于 呈怎样的模型变化？   2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染的计算机．现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？ 【设计意图】    第1题主要的目的是检测学生对几类函数模型的理解．在处理上，先让学生通过数据的分析体会并作答，然后利用散点图进一步的验证．.... ....    第2题以实际问题为背景，检测学生运用数学方法解决实际问题的能力．通过这道题目，让学生进一步体会指数型的“爆炸式”增长，并为后面学习等比数列等知识做一铺垫．    六、作业：    选择一个你所知道的增长模型，判断其增长方式，试找到其对应的函数模型. 下面的问题供选择： 1.中国的经济总量； 2.中国从1980年开始的人口数； 3.世界人口数； 4.中国的私家车数量； 5.其它问题. 【设计意图】    作业采用开放性的问题，学生通过这节课的学习能够应用所学到的知识发现和解决实际的问题，发展学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，也有利于扩展学生的视野，提高实践能力. 指导教师：沈 婕  天津市中小学教育教学研究室 吴淑芬  天津市南开区教育中心.... .... 侯卫平  天津市.... ....  2013-04-16  人教网 下载：....