“几类不同增长的函数模型”教学案例分析 摘要：新人教教材编写时很注重体现知识的呈现、发展过程，让学生能够在教师指导下利用教材进行探究性的学习，培养学生的创新精神和探索能力。在近一年的探究式教学开展过程中有很多的体会，以“几类不同增长的函数模型”为例，对探究性教学实施做了一些总结、反思，为以后的教学提供了方向。 关键词：几类不同增长的函数模型；教学案例；探究性教学 今年，我们教研组承担了省教育学院的科研课题《数学课堂教学中学生探究能力的培养》，我在任教的高一七、八班做了对比教学，在七班进行传统的“讲授式”教学，在八班进行“探究式”教学。我校学生的入学成绩相当于普通高中三类校水平，在此基础上又把高分考生编成一个宏志班，高一七、八班是普通平行班，学生的学习基础、态度、能力等方面差异不明显，均在同类学生中处于中下水平。 “几类不同增长的函数模型”
是人教A版必修一的3.2.1节，是在已经学习了函数的基本性质和基本初等函数的基础上，用数学建模体会函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用，通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），理解几类基本初等函数的增长差异性，是一节较难的函数应用课。由于学生的基础及课时限制，设计时对教材内容进行了重组，本课教学内容为例1的投资方案选择问题和比较几类基本初等函数的增长差异性，两个班的教学内容、要求都一样，但教法不同。本文重点介绍在八班所进行的“探究式”教学，着重阐述如何在课堂教学中培养学生的探究能力。 【教学过程与操作设计】 创设情境：PPT展示材料：澳大利亚兔子数“爆炸”。 提出问题：为什么在短短几十年，兔子数会增长得如此迅猛，如何用相关知识来说明呢？在学习了本课之后这个问题就迎刃而解了。 设计意图：创设问题情境，以有趣的问题引入激起学生的热情，使课堂中的有效思维增强。 案例1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 问题探究： （1）在本例中每种方案涉及哪些数量关系？如何用函数来描述这些数量关系？ （2）建立函数模型以后，应该选择哪种方案呢？从哪个角度进行分析？ （3）列表，根据表中的数据，你对三种方案表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
（4）描点、连线，利用图象描述一下三种方案的发展趋势，体会不同函数的增长特点。 （5）根据以上分析，你认为该如何做出选择？ （6）你能根据本例体会函数思想的实际应用吗？体会不同函数的增长差异吗？ 设计意图：引导学生分析数量关系，并确定合适的函数模型。但从函数解析式要知道收益的差异并不容易，因此要用函数的另两种表示方法（表格法、图象法）来直观分析，从表格初步体会“直线增长”“指数爆炸”，再利用函数图象分析、体会不同函数的增长差异。最后，引导学生考虑一段时间内的总收益进而做出正确的选择。 总结与反思：本例是数学建模问题，初步体会几类函数的增长差异。作为“探究式”教学，最理想的设计是让学生自主分析，建立模型，从合适的角度分析。但由于学生能力有限，我设计成“精心设置问题，通过问题引导学生分析”。课后了解到学生的接受情况不错，更有程度较好的学生提出困惑：既然最后需要考虑的是累计回报，分析累计回报函数模型不是更直接吗？这是一个惊喜，提醒我设计时要充分了解学情，当然本例的设计初衷是为了避开累计回报函数模型所要用到的等差、等比数列的求和问题（必修五才学习）。
事实上，探究性教学主要就是围绕问题的提出和解决来组织学生的活动，这个过程本身就是教学、学习的过程。因此，提出问题时应创设合理的情境，利用实际背景、演示实验、制作模型、图表等，使学生产生强烈的探究愿望，主动参与探究过程，更重要的是应该结合学生的最近发展区与思维特点，合理地设置问题，不能脱离实际，让学生无从下手，甚至打击学生的自信心。 求知欲是学生主动学习的内在动力，求知欲越高，主动探索精神越强，就越能主动思考。教师在教学中可通过激趣、设疑、悬念、讨论等多种途径，活跃课堂气氛，调动学生的学习热情和求知欲望。对于学习基础不是很好的学生，教师应指导学生根据学习的内容，鼓励学生学在教前，采用自问自答的方式对知识进行尝试性预习。同时，培养学生主动搜集分析有关的信息资料，验证问题的各种假设情境，把当前学习内容尽量与自己已有的知识、经验联系起来，并对这种联系加以思考，然后在探索过程中去发现、建构知识体系。 因此，数学探究性课堂教学过程不但应加强对教学目标、教学过程的调控，而且要对学生进行积极的情感牵引。和谐的情感交流，适宜的教学节奏，使人感到有一种自由、安全的心理氛围，教师在课堂上不宜对学生的观点、看法横加指责，即使是指出学生的不足，也要让学生感到友好、诚恳，使人乐于接受、心悦诚服。只有这样，才能让学生在学习的过程中有情感的投入，有内在动力的支持，进而得到积极的情感体验。 案例2：幂函数y=xn（n>0）、指数函数y=ax（a>1）、对数函数y=logax（a>1）在区间（0，+∞）上的单调性如何？增长有差异吗？ 问题探究： （1）你能在同一平面直角坐标系内做出函数y=2x，y=x2和y=log2x在（0，+∞）内的图象吗？ （2）在区间（0，+∞）上，你能发现y=2x与y=x2的图象的交点吗？找出不等式log2x
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