《几类不同增长的函数模型》教学设计贾荣果、李会金、牛媛团队一、教学设计分析（一）教学内容分析本节课是高中数学必修1（人教A版）第三章第二节《几类不同增长的函数模型》的第一课时。教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数据表格和函数图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，让学生体会直线上升、指数爆炸、对数增长。我们知道，函数是中学数学的重要内容。本节课是在学生已掌握了函数的一般性质和基本初等函数知识的基础上，经历选择和运用函数模型解决实际问题的过程。它既是对函数图象和性质的进一步应用，又为下一步利用函数模型解决实际问题做好铺垫，同时与高二将要学习的统计知识遥相呼应，起到承上启下的作用。因此，从内容上说，本节课是对前面所学基本初等函数性质的应用，从思想方法上说，体现了函数思想的应用，通过构建函数模型来解决现实生活中的简单问题。（二）教学对象分析第一，学生在学习本节内容时，升入高中时间不长。在学习方法上，他们还是沿袭初中时的方法——通过大量的重复训练来达到熟练的目的。思维水平还处于以形象、具体的感性思维为主的阶段，还没有达到有逻辑的严谨抽象的理性思维的高度。所以教材的两个实例，通过数据表格和函数图像，让学生体验指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，是适合学生特点的。第二，由于初中课程改革的原因，学生在初中的课堂上，表现活跃，愿意参与课堂，他们希望在同龄人面前展示自己的优点和特点以赢取同学的羡慕与佩服之心。这对于学生参与课堂来说，是一个有利因素。利用学生这个心理，让他们参与使用信息技术自己发现数据背后的函数模型是可行的。第三，通过对前两章的学习，学生已经对函数图像性质有了一定的了解，能运用函数知识解决一些问题，初步具备了应用函数思想解决问题的意识，对学习本课内容有了一些基本知识准备。另外函数思想已经普遍地存在于日常生活中，学生对于将要学习的函数模型的应用并不陌生。
第四，学习这节课时，学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度认识很少，所以让学生直接比较这几类函数的增长差异会有一定的困难，如果由教师制作好函数图象展示给学生看，对学生思维品质的培养来说，力度远远不够。学生们在计算机操作上，虽说是爱玩电脑，个个是游戏高手，却未必在办公软件操作上能够得心应手。这也将是课堂上，信息技术与课程学习整合的一个难点。在学生利用信息技术来完成建立函数模型、分析函数模型增长的含义过程中，会突发什么样的事件，遇到什么样的难题，甚至是技术难题，教师在备课时是无法预料的，学生在操作之前是无法想象的。而这恰恰是在学习过程中，教师传授分析思考问题、解决问题的方法，提高学生理性思维能力的大好时机。同时，在这个探索过程中，也充分让学生体验了函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，达到了培养学生的创新精神，团结协作精神激发学生学习数学兴趣的目标。（三）教师自我分析在我们这个团队中，贾老师沉着稳重，捕捉学生信息、学生思想变化敏捷而准确，是一个经验丰富的老教师。牛媛老师，做事细致认真，思维灵活敏捷，是一个富有活力的年经教师。李会金老师，善于学习、肯于钻研，信息技术辅助教学工具使用灵活、熟练，能够设法解决教师因工作繁忙而无暇顾及的一些问题，是一个年富力强的中年教师。我们在应用信息技术辅助教学上，形成了一个优势互补的教师团队。（四）教学环境分析，电教设备齐全，班级容量约45到55人。而且我们学校在高一就已经开设了微机课，学生们有一定的计算机基础知识，能够通过互助或在教师指导下，利用excel、几何画板等教学软件来进行实际操作，得出函数模型的图象。这为我们利用计算机来实现学生的自主学习提供了有力保障。（五）整合点分析本节课的知识技能目标是让学生结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法。在实际教学中，很多老师都是直接给出三种函数图象，引导学生观察，说明它们之间增长的不同。这种做法，老师做起来最简单，学生听起来很直接，看上去学生对知识结论是明白了，记住了，但收获也就只限于此，学生的思维仅停留在直观感觉上了。从这一节课在教材中的地位和作用来说，学生在这节课上除了要达到知识技能目标外，更重要的是要感受数学建模的思想，初步了解函数模型，并在接下来的学习中，尝试着用函数建模思想方法来解决现实生活中的实际问题，所以我们团队主张，把这节课还给学生，让学生自己动手应用excel和几何画板工具，自己制作函数图象，并观察图象得出结论。学生在自己用excel表达三种不同类型函数时，对数据的变化就会有感性的认识；在用散点图作出函数图象的整个过程中，学生对函数的列表法、图象法两种表示方法的意义也有感性的感受了，同时对函数中的自变量与函数值的理解也会有更深的理解。另一个收获就是，他们也会觉得信息技术学完就能用，太有成就感了。另外，几何画板作图快捷，在观察参数对函数的影响，几何画板也有着很强的优势，这在例2中有充分体现。可在现实中，更多时候我们并不能事先知道几组数据之间的函数解析式，而是需要先画出散点图，从散点图上观察出近似于某种函数，再根据函数增长差异模拟出一个函数，最后估计出函数解析式。学生应该具有这种意识与初步能力。我们认为这才算达到整个3.2节内容的学习目标。（六）教学方法分析概括以上分析，本节课目标：（1）知识技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性。（2）过程与方法：利用信息技术，利用数据表格、函数图象，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性。
认识研究函数增长（衰减）差异的方法。（3）情感态度与价值观：在动手操作过程中体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。本节课重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。本节课可能的难点：（1）学生直接比较这几类函数的增长差异有一定的困难（2）例2中，学生在得出函数图象后，如何选择函数模型的方法不清。（3）学生信息技术应用不熟，导致操作速度慢。根据以上的详细分析，我们决定采用学生自己动手操作、主动探究、教师引导的教学方法。二、教学流程图实例探究互动交流巩固反思总结规律学以致用及时回馈课后作业拓展延伸阅读理解审题利用电脑数据表格、几何画板、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．强化基本方法，规范基本格式．利用网络收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用．创设情境引入新课实际问题引入，激发学生兴趣．三、教学过程设计问题设计意图教学内容师生互动
（1）在章头图中，我们该如何选择适当的函数模型来描述这种现象呢？创设情境引入新课从学生熟知的生活实例为情境，创设问题，以问题引入能激起学生的热情，增强课堂里的有效思维。材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。教师指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的（2）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？实例探究互动交流使学生学会将实际问题转化为数学问题例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？请以一个月为例进行比较说明。学生自主阅读题目，理解题意，思考探究问题。教师在一旁观察学生情况，引导有困难的学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述。（3）你能利用计算机，计算出三种方案下，回报资金情况吗？实例探究互动交流让学生从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是体会指数爆炸。学生制作表格，获取信息，直观感受三种不同函数的增长差异。特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流。教师引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．
（4）你能借助计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？实例探究互动交流让学生利用图象从整体上把握不同函数模型的增长学生利用excel作出三个函数的图象，并观察三种方案的不同变化趋势，学生对这种变化趋势作出描述，为方案的选择提供依据。教师为遇到困难的学生进行指导。（5）由以上的分析，你认为应当如何作出选择？实例探究互动交流培养学生分析整理数据并根据其中的信息作出推理判断的能力。引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．（6）例2涉及了哪几种函数模型？本例的实质是什么？实例探究互动交流进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异。例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：．问：其中哪个模型能符合公司的要求？教师引导学生利用几何画板，绘制三种函数图象，分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况。
（7）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？实例探究互动交流让学生分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求学生进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异。教师引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择。（8）你能概括一下三种函数模型增长差异和用函数模型解决实际问题的方法步骤吗？巩固反思总结规律概括出利用信息技术与函数模型解决实际问题的方法步骤。师生交流小结：确定函数模型→利用数据表格、函数图象讨论模型→体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。（9）如果我们不能从所给信息或数据中写出函数解析式，那么如何判断数据变化符合哪种函数模型。学以致用及时反馈及时了解学生对函数模型增长差异的掌握程度。练习：教材P98练习1让学生能够利用信息技术，在认识三个函数模型的增长差异的基础上加以应用。（10）你能利用本节课的收获解决实际问题吗？课后作业拓展延伸收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？
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