3．2.1 几类不同增长的函数模型[读教材·填要点]1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.[小问题·大思维]1．对函数y1＝100x，y2＝log100x，y3＝x100，y4＝100x，当x越来越大时，增长速度最快的应该是哪一个函数？提示：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y4＝100x增长速度最快．2．你能举例说明“指数爆炸”增长的含义吗？提示：如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量会增加得特别快，足以体现“爆炸”的效果．3．若x∈(0,1)，则2x，x，lgx的大小关系是什么？
提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x，y＝x和y＝lgx的图象即可得出结论，即2x>x>lgx函数模型的增长差异[例1] 一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？[自主解答] 若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.按单利计息，则第n年的本息为10000(1＋n×0.8×0.04)＝10000(1＋0.032n)(元)；按复利计息，则第n年的本息为10000(1＋3.6%×0.8)n＝10000×1.0288n(元)，列表如下(单位：元)年数12345单利1032010640109601128011600复利1028810584108891120311525年数678910单利1192012240125601288013200复利1185712199125501291213283从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息．————————————————————————————————————————————————————————
1．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析：由图象可知，该函数模型应为指数函数．答案：A函数模型的应用[例2] 某地西经柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本为Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表中的数据，从下列函数中选取一个解析式来描述西红柿种植成本Q与上市时间的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt.(2)利用你所选择的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[自主解答] (1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q＝at2＋bt＋c.即解得Q＝t2－t＋.(2)Q＝(t－150)2＋－＝(t－150)2＋100，∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.——————————————————
应用题目提供的信息解决实际问题时最重要的是：如何正确选择函数模型，由所给的数据直接发现函数模型一般来说是很困难的．我们可以根据各类函数的不同性质，特别是各类函数在一定范围内的增长差异性，直接选择可能的模型，再将个别数据代入进行筛选，从而确定正确的函数模型．——————————————————————————————————————2．电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．解：由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)＝fB(x)＝(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．(2)因为fB(x＋1)－fB(x)＝(x＋1)＋18－x－18＝＝0.3(元)(x>500)，所以，方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图知，当0≤x≤60时，有fA(x)500时，fA(x)>fB(x)，当60fB(x)，得x>，
即当通话时间在(，＋∞)时，方案B较方案A优惠.解题高手易错题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！ 某工厂转换机制，两年内生产产值的月增长率都是a，则这两年的年增长率是多少？[错解] 设第一年年末的产值为b，则第二年年末的产值是b(1＋a)11，依题意得所求增长率是＝(1＋a)11－1.[错因] 本题错解的原因是对增长率问题的公式y＝N(1＋p)x未能理解透彻而造成指数写错．或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误．[正解] 不妨设第一年一月份产值为b.则二月份产值为b(1＋a)，十二月份产值为b(1＋a)11，年产值总量M1＝b[1＋(1＋a)＋(1＋a)2＋…＋(1＋a)11]第二年一月份产值为b(1＋a)12，二月份产值为b(1＋a)13.…十二月份产值为b(1＋a)23，年产值总量M2＝b(1＋a)12[1＋(1＋a)＋…＋(1＋a)11]．所以这两年增长率为＝(1＋a)12－1.1．以固定的速度向图(1)形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是下列选项的( )解析：水的高度增长越来越快．答案：B
2．1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2013年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )A．y＝54.8(1＋x%)19 B．y＝54.8(1＋x%)21C．y＝54.8(x%)19D．y＝54.8(x%)20解析：由题意，1993年底人口为54.8(1＋x%)，1994年底人口为54.8(1＋x%)2，…，故2013年底人口为54.8(1＋x%)21.答案：B3．根据统计资料，某种能源生产自1998年以来发展很快，下面是我国能源生产总量的几个统计数据：年份1998年2003年2008年总量8.6亿吨10.4亿吨12.9亿吨有关专家预测，到2013年该能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家选择作为模型进行预测的函数类型为( )A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解析：可画散点图容易看出是二次函数．答案：B4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(00)6．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方．这说明只有按模型y＝log5x进行奖励时才符合学校的要求．一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数解析：一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．答案：D2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2xB．y＝(x2＋2x)C．y＝D．y＝0.2＋log16x解析：用排除法，当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D项，当x
＝3时，否定A项．答案：C3．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )解析：设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x.答案：D4．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )A．a>bB．a
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