几类不同增长的函数模型（第1课时）

课题：$3.2.1几类不同增长的函数模型（第1课时）教学目标：知识与能力：能够借助计算器或计算机制作数据表格和函数图象，并据此对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解它们的增长差异。过程与方法：通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图象分析问题和解决问题；通过对几种函数模型的增长情况的分析，初步体会它们的差异性。收集一些实际生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用，从而培养学习数学的兴趣。情感与态度：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实生活中的作用。教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。环节教学内容设计师生活动创设情境材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．师：[展示兔子图片]问：同学们感觉兔子可爱吗？可是兔子曾让澳大利亚伤透了脑筋，请看材料。[展示材料]。一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的。生:感知指数函数变化剧烈。教学过程： 环节教学内容设计师生活动引入课题板书节名：几类不同增长的函数模型师：在现实生活中我们可以找到很多可有函数模型描述其增长的现象。当然不同的函数模型其增长也不同，本节课我们就结合实例来探究几类不同函数的增长规律。引导探究例1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元：方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映(2)你会选择哪种投资方案？思考：选择投资方案的依据是什么？生：阅读题目，理解题意，思考探究问题。师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述。三种方案每天回报数各是多少？师生：建立函数模型师：要求学生用计算器完成表格，引导学生体会表格中的数据变化，尤其是回报3的数据变化。感知“指数爆炸”并板书。生：填写并观察表格，获取信息，体会三种函数数量上的增长差异，说出自己的发现，并与同学交流。第二次感知“指数爆炸”。师：要求学生用表中数据作图。师：引导学生利用函数图像和数据分析三种方案的不同变化趋势[板书]。生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据。师：计算累计增长量。引导学生观察数据变化。生：第三次感知指数爆炸。生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断。师：展示结论。 深入探究例2.经过科学的选择和不懈的努力，你的投资终于给你带来了爆炸式的回报，现在你拥有了自己的公司，为了能达到1000万元利润的目标,你的助手为你制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,,其中哪个模型能符合公司的要求?问题1：本例涉及了哪几类函数模型？符合公司要求的模型有什么条件问题2：请用合适的办法比较三个模型的增长差异。问题3：通过比较你认为哪个模型符合公司要求？你的同桌或邻桌同意你的看法吗？问题4：作为公司老总的你对助手提供的几种奖励模型你满意吗？你能否也制定一个符合上述条件的奖励模型？师：适当小结一次函数与指数函数的增长差异，过渡例2。师：引导学生分析三种函数的不同增长情况，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长差异。生：进一步体会函数模型的广泛应用。生：用列表与作图法比较师：补充板书：对数增长师：引导学生关注约束条件并把约束条件转化为数学模型（图线）。生：分析数据特点与作用判定每个奖励模型是否符合要求。作图佐证。生：在师的引导下写出解题过程。生：思考完成。师：根据学生的设计作图验证。回顾反思总结提高本节课你有哪些收获或体会？1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。2、选择确定模型→利用数据表格、函数图像讨论模型→分析讨论模型→体会直线上升、指数爆炸、对数增长。对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；指数增长模型比较适合于描述增长速度骤变的变化规律。生：自由发表自己的看法。师：展示归纳。 环节教学内容设计师生活动布置作业1、四个变量、、、随x的变化的数据如下表:x051015202530y151305051130200531304505y25525125625312515625y35305580105130155y452.3111.431.1411.0461.0151.005关于x呈直线型函数变化的变量是（）呈指数型函数变化("指数爆炸")的变量是()。2、P110T23、在实际生活与生产中寻找体现函数模型的例子；师：展示作业，视学生的实际布置作业。课题：$3.2.1几类不同增长的函数模型（第2课时）教学目标：1、借助信息技术，利用函数图象和数据表格，比较指数函数，对数函数以及幂函数的增长差异。2、通过具体例子比较得到一般性的结论，体会从特殊到一般的思想。教学重点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。教学难点：比较指函数和幂函数的增长差异。教学方法探究式教学教学用具多媒体、计算器教学过程：问题情景设计意图教师活动学生活动（1）你能借助计算器或计算机，列表在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x，y=x2和y=log2x在（0，4）内的图象吗？观察三个函数的图象，判断三者的增长差异.组织学生列表、画图并探究三个函数的图象的共同点和不同点.列表在同一平面直角坐标系内作出三个函数在（0，4）内的图象并观察，探究三个函数的增长的差异. （2）你能发现y=2x与y=x2的图象的交点吗？由二分法确定两曲线的交点，从而确定分界点.让学生探究y=2x与y=x2的交点位置.思考如何确定y=2x与y=x2的交点，并回答不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x的解集.（3）若将（0，4）范围扩大y=2x与y=x2的图象在（0，8]和（0，80）的图象又是怎样的呢？在大范围内总结出y=2x与y=x2的图像的变化趋势，找出它们增大差异.组织学生在（0，8）内列表作图、探究它们的增长差异.借助计算器或计算机分别在（0，8]，（0，80 ]内作出y=2x与y=x2的图像并探究出增长速度的差异。问题情景设计意图教师活动学生活动（4）类似地在大范围内你能研究出y=2x与y=log2x的图像的增长情况吗？通过判断y=2x与y=log2x图象的增长差异，可判断出y=2x，y=x2与y=log2x的图象的增长差异.组织学生依据前面的比较，作出y=2x与y=log2x的图象并比较.依照前面列表，作出y=2x与y=log2x的图象，探究它们的增长差异.（5）类似地你能研究出y=x3y=3x与y=log3x的图像的增长情况吗？判断出y=3x，y=x3与y=log3x的图象的增长差异.判断出y=3x，y=x3与y=log3x的图象的增长差异.（6）你能根据y=2x，y=x2与y=log2x；y=3x，y=x3与y=log3x的增长差异得到y=ax(a＞1),y=xn(n＞0)与y=logax(a＞1)的增长差异吗？由具体实例推广得到一般性的结论对y=ax(a＞1),y=xn(n＞0)和y=logax(a＞1)作出比较.组织学生思考推广到一般情况进行比较.联想函数的性质及上述得到的结论总结一般性结论.（7）你能用同样的方法讨论y=ax(0＜a＜1)y=xn(n＜0)y=logax((0＜a＜1)在区间（0，+∞）上的衰减情况吗？引导学生进一步思考对函数y=ax，y=xn以及y=logax作横向的比较，有较全面的认知.帮助同学思考0＜a＜＜1，n＜时，三种函数一般性的结论.进一步探索思考三种函数的变化趋势对三种函数作全面的比较认知.小结作业：P113练习 3.2.1几类不同增长的函数模型兖州一中高二数学薛德华课型:新授课【学习目标】知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用．情感、态度与价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．【学习重点、难点】学习重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．学习难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．【学法指导】独立思考与合作交流相结合【知识链接】1．函数的增减性：2．函数的增减性：3．在时的增减性：【学习过程】1．材料引入：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么,面临上述问题,我们应选择什么样的函数模型来描述呢?(温馨提示：可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长)2．例题学习：⑴阅读课本P95例1，回答下列问题：问题1：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？问题2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？问题3：你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？ 问题4：根据以上分析，你认为应该如何对三种方案进行选择？问题5：通过解决本题你对不同函数增长模型的增长变化有什么体会？⑵阅读课本P97例2，回答下列问题：问题６：本例中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？问题7：你能借助计算器或计算机作出三种函数的图象，并通过图象找出符合公司要求的奖励模型吗？问题8：通过读题我们知道要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，那么如何通过计算确定呢？请写出具体过程。问题9：通过解决本题你对本例中涉及的三种函数增长模型的增长变化有什么体会？3．新知学习：指数函数、幂函数、对数函数在区间上的增长差异分析：问题10：你能借助计算器或计算机，列出三种函数自变量与函数值的对应表，并在同一平面直角坐标系作出三种函数的图象吗？问题11：通过观察表格和图象，你能发现三种函数增长情况的相同点和不同点吗？结论推广：一般地，对于指数函数和幂函数，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有.对于对数函数和幂函数，在区间上，随着的增大，增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样.尽管在的一定变化范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有.在区间上，尽管函数，和 都是增函数，但它们的不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个，当时，就会有.问题12：你能用同样的方法，讨论一下函数，，在区间上的衰减情况吗？【基础达标】（A级）1.下表是弹簧伸长的长度与拉力的相关数据.14.228.841.357.570.212345描点画出弹簧伸长长度与拉力变化的图象,并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.（B级）2.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76％,设质量为1的镭经过年后的剩留量为,则的函数表达式为()A.B.C.D.（B级）３.有一块长为，宽为的矩形铅片，四角各截取一个相同的边长为的正方形，折起来做成一个无盖的长方体盒子，则盒子容积的解析式为.（B级）4.某商店每月利润稳步增长,去年12月份的利润是当年1月份利润的倍,则该商店去年每月利润的平均增长率为.（C级）5.在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：①；②；③（Ｄ级）6.某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间(天)的函数关系如图所示的两条线段表示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间(天)之间的函数关系是Q=≤30,).⑴根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格P与时间的函数关系式；⑵求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量） 757045202530(天)P（元）（YUA0【学习小结】（1）知识小结（2）思想方法小结【当堂检测】（A级）1．一组实验数据如下表：1.021.993.014.05.16.12……0.011.54.047.51218.01……则下列四个关系式中，最接近实验数据的是（）A.B.C.D.（Ｂ级）2．有甲、乙两种商品，经营和销售这两种商品所获得的利润依次是和（万元），它们与投入资金（万元）的关系，有经验公式：，.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？