第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型
1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异．(重点)2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸等不同函数类型增长的含义，及其对应函数模型的性质的差异．(易混点)3．会分析具体的实际问题，能够通过建模解决实际问题．(难点)
三种函数模型的性质y轴平行x轴平行越来越快越来越慢ax>xn>logax
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4
解析：通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.答案：C
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．1．函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()2．当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()答案：1.×2.×3.√
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．思路点拨：解答本题的关键是在同一坐标下画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．三种函数模型的增长差异
解：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5ex0－2＝x－1的x0，当x＞x0时，ln(x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2.
三种函数模型的表达形式及其增长特点(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．
1．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2014)，g(2014)的大小．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．∴1＜x1＜2,9＜x2＜10.∴x1＜8＜x2＜2014.从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2014)＞g(2014)＞g(8)＞f(8)．
电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)试问：根据图象分析函数模型的增长趋势
(1)若通话时间为2h，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500min以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？思路点拨：首先根据图象求出函数的解析式，然后利用函数的观点求解．解：由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则
对于给出图象的应用问题，关键是读图，要将图形给出的有用信息准确、全面地提炼出来，为此要注意以下几点：①明确横轴、纵轴的意义，如本题中横轴x表示通话时间，纵轴y表示电话费；②从图象形状上判定函数模型，如本题中两种方案，对应的函数分别在两个区间内都是直线型函数；③抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)，最低点(最小值点)，及折线的拐角点等；④通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题．
2．为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜．
某汽车制造商在2016年初公告：公司计划2016年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2013、2014、2015、2016定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？函数模型的选取年份/年201320142015产量/万辆81830
不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
3．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
几类常见函数模型的增长特点(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动中时间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>1)，通过图象可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力．(3)对数函数模型：能用对数型函数表达的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1)，函数值增大的速度越来越慢．
活页作业(二十五)
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