高一数学几类不同增长的函数模型

3.2.1几类不同增长的函数模型（福建省厦门市第六中学任春雨） 新课导入一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折x次的厚度和x块砖的厚度各是多少，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度，你的直觉与结果一致吗?解：设一张纸对折x次的厚度为f(x),x块砖的厚度为g(x),依题意可得： 应用示例例1、假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报40元；方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？ 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增模型，要对三个方案作出选择，就要对他们的增长情况进行分析，首先计算得到三种方案所得回报的增长情况如下表所示：方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述解：设第x天所得回报是y元，由题意得： x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长情况：4080120160y２４６８1012xoy=40y=10x 我们看到底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。 结合表格及三个函数的图像从每天的回报看：第1--4天，方案一回报最多：第5--8天，方案二回报最多：第9天以后，方案三回报最多。思考：能否根据上面的分析作出这样的选择：投资5天以下选择方案一；投资5--8天选择方案二；投资8天以上选择方案三？ x（天）方案一方案二方案三回报(元)回报(元)回报(元)140100.4280301.23120602.841601006520015012.4624021025.2728028050.883203601029360450204.410400550409.211440660818.8124807801638结论投资1~6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择方案一或者方案二；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。累计的回报数： 例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？ （1）奖金总数不超过5万元（2）奖金不超过利润的25%分析：选择的模型需要满足的要求如下： 4006008001000120020012345678Xyoy=5y=0.25x解：借助于计算机先作出y=5，y=0.25x,的图像 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万对于模型,在区间[10,1000]上递增，令0.25x=5，可得x=20,因此当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；对于模型，由函数图像，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时所以它符合奖金总数不超过5万的要求。对于模型,根据图像令y=5，利用计算器可知在区间（805，806）内有一个点满足，它在区间[10,1000]上递增，故当时，y>5,所以该模型也不符合要求。 对于函数模型当时，奖金是否不超过利润的25%呢?利用计算机作出图像，有图像可知它是递减的,因此有亦即当是否恒成立即当是否有？答：模型能符合公司的要求 （1）读题理解题意（2）挖掘数量关系，建立数学模型（3）求解数学问题（4）回归实际，进行答题2、求解数学应用问题的一般步骤：小结1、几种不同增长的函数体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同类型函数的含义与差异性利用数据表格，函数图像确定函数模型 课后作业1．课本P107习题3.2A组1、22．举出生活实例，并用函数模型进行分析。 谢谢~再见授课人：任春雨