3.2.1几类不同增长的函数模型(2)教材分析本节内容是数学必修1第三章函数的应用的第二节，在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数.本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用.因此，从内容上看,本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后而继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础.因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，乂是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.本节主要利用计算工具，比较指数函数、对数函数、幕函数的增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；感受运用函数的概念建立模型的过程和方法；逐步培养分析问题、解决问题的能力，初步了解数学在解决实际问题的应用.本节课的重点是比较指数函数、对数函数、幕函数增长差异.难点是比较指数函数、幕函数增长差异.解决新问题的过程中，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题小的作用.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要内容是利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幕函数等)，了解函数模型的广泛应用.教学目标重点：比较指数函数、对数函数、幕函数增长差异.难点：比较指数函数、幕函数增长差异.知识点：将实际问题转化为函数模型.能力点：比较不同函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.教育点：经历由具体到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何运用函数模型解决实际问题.考试点：将实际问题转化为函数模型，然后求解.易错易混点：解决实际问题时易选错模型.拓展点：分段函数的应用.教具准备多媒体课件和计算器课堂模式学案导学一、引入新课通过上节课的学习，我们已经知道，应用数学函数模型能为我们解决实际问题提供很大的帮助，我们不仅要应用好数学模型，我们更应该在而对实际问题时，能通过自己建立的函数模型来解决问题。从上节两个例题可以看到，指数函数、对数函数、幕函数的增长是有差异的.那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？
二、探究新知
探究一：我们知道，对数函数y=log“兀(心>1),指数函数y=N(q>1)与幕函数y=xn(7?>0)在区间(0,+OQ)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.请观察下图，下图是函数y=log2x,y=2x,y=x2的图像：我们可以得到，在区间(0,+8)上函数=log2X,y=2V,J；=%2均为单调增函数，y=log2X的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，v=2v的图象与y=F的图象有两个交点(2,4)和(4,16)・教师提出问题：\)和幕函数y=xn(n>0),通过探索可以发现，在区间(0,+G上，无论/7比。大多少，尽管在尢的一定变化范围内，，会小于兀”，但由于/的增长快于0的增长，因此总存在一个X。，当%>x0时，就会有ax>Z.对数函数y=logax(a>l)和幕函数y=xw(m>0),在区间(0,+8)上，随着兀的增大,log,X增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与X轴平行一样.尽管在兀的一定变化范围内，10g“x可能会
大于兀"，但由于log“X的增长慢于兀"的增长，因此总存在一个兀0,当X>x0时，就会有log,兀V/V/.三、理解新知1.在区间（0,心）上，函数y=2v和y=F的图像有两个交点，它们是和,当盛时2.对于区间（0,+oo）上的任意实数尢（），三个数2也，V，log2x（）中最小的是3.同一坐标系中，函数y例1辆数为（3600-3000）-50=12,所以这时租出了88辆.（2）、设每辆车的月租金定为x元时，租赁公司的月收益为y元，则〉，=/100一”二3°°°\（兀一150）-*二3°°°x50某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为"（50丿'7503000元时，可全部租岀，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租岀的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？［分析］可以看出，当每辆车的月租金定高了时，租出的数量就少了；而要租出的车多，月租金只得降低.要收益高，就得兼顾每辆车租金和出租的数量•这种情形往往可抽象成二次函数模型•但不要忽视了每辆车的月维修费.［解答］（1）、当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车二--1-x2+162^-2100050=-右（尢-4050『+307050.所以当=4050时，=307050.答当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，为
307050元.［设计意图］二次丙数是一种常见的丙数模型，应用广泛，通过本题锻炼学生根据题设创建二次函数的数学模型解决实际问题的能力.例2.有一批单放机，每台80元，两个商场均有销售.甲商场的优惠办法是：买1台少收2元，买2台每台少收4元，买3台少收6元，……,直到减到半价为止.乙商场的优惠办法是：一律按原价的70%销售.某公司要为每个员工买一台这样的单放机，问到哪个商场购买比较合算？［分析］:要比较到哪个商场购买比较合算，就看买相同的台数谁花的钱少.因此设大家都买x台，列出所需钱数的函数关系式即可.［解答］:设共买兀（台），在甲.乙两个商场购买分别需/（无）和g（Q元，则有在同一直角坐标系屮分别作出函数/（兀）和g（x）的图象，由图象可知，它们有一个交点（12,672）.由图可知，当公司员工少于12人吋，到乙商场购买合算；当当公司员工恰好是12人时，到甲.乙商场都一样；当公司员工多于12人时，到甲商场购买合算.［设计意图］一方面渗透数形结合的思想，另一方面生活中经常会碰到类似的事情，需耍你对某个事件作出选择，这就可用我们学过的数学知识来分析解决，体现了数学的应用价值，培养学生学好数学的信心.五、课堂小结教师提问：1.本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1.知识:将实际问题转化为函数模型•比较不同函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.思想：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想.教师总结：应用函数模型解决实际问题的基本过程：
①确定函数模型；②利用数据表格，函数图象讨论模型；体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义.［设计意图］加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”.六、布置作业1.阅读教材P99-1012•书面作业P101练习(1),(2),(3)必做题：①某地植被被破坏，土地沙漠化越來越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2、0.4、0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数较为近似的函数模型是下列哪一个(y=0.2x>y=0.1(兀2+2x)、y=2x/10>y=0.2x+log16x)②如果正整数m满足10心当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？选做题：1.请同学们总结归纳一下这节课的知识点.2.己知0vxv20,利用图像说明ZMog.x的大小关系.3.课外思考1.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层•臭氧含量。呈指数函数型变化，满足关系式Q=Qof"00⑸，其中Q。是臭氧的初始量，f是所经过的时间.1)随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？2)多少年后将会有一半的臭氧消失？［设计意图］让学生对生活中的实际问题动手进行调查、研究，体会函数模型应用的广泛性及其应用价值.七、教后反思1.图象、表格和解析式都不能是函数对应关系的表现形式.在实际应用时，经常需耍将函数对应关系的一种形式向另一种式转化.本教案的亮点是以学生为主体，充分发挥学生的主动性，分组借助计算器来探究三类函数的增长规律.2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活常握，但必须在题型与难度梯度的设置上下足功夫.3.本节课的弱项是在探究二的教学中，由于表格中数值较大，在课堂上部分教师不敢给学生过多的时间用于计算，而直接给岀结论.八、板书设计1.2.2几类不同增长的函数模型(二)
探究一:探究二：例1.例2
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