第三章 3.2 3.2.1几类不同增长的函数模型基础巩固一、选择题1．下列函数中，增长速度最慢的是( )A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x[答案] B2．以下四种说法中，正确的是( )A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xn＞logaxC．对任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax[答案] D[解析] 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．3．(2015·长沙高一检测)如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是( )A．x＞0B．x＞2C．x＜2D．0＜x＜2[答案] D4．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2
[答案] C[解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.5．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x[答案] D[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.6.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法：①前5min温度增加越来越快；②前5min温度增加越来越慢；③5min后温度保持匀速增加；④5min后温度保持不变．其中说法正确的是( )A．①④B．②④C．②③D．①③[答案] C[解析] 前5min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以②③正确，故选C.二、填空题7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．[答案] 甲8．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________．[答案] ①②③[解析] 看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．三、解答题9．(2015·沈阳高一检测)某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x＜20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？[解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木才量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x＜14.87时就考虑重栽，否则让它继续生长．10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有.[解析] 由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝，设再过t分钟水桶甲中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，所以()＝(e－5n)＝e－n(t＋5)＝＝()3，∴＝3，∴t＝10.
∴再过10分钟水桶甲中的水只有.能力提升一、选择题1．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2[答案] A[解析] 由散点图可知，与指数函数似合的最贴切，故选A.2．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )A．y＝0.9B．y＝(1－0.1)mC．y＝0.9mD．y＝(1－0.150x)m[答案] C[解析] 设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9，x年后的湖水量为y＝0.9m，故选C.3．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．无法判断[答案] A[解析] ∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－)，∴b＝a×，∴b＜a，故选A.4．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿ABCM
运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )[答案] A[解析] 依题意，当0＜x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；当1＜x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝×(1＋)×1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋二、填空题5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．[答案] 2ln2,1024[解析] ∵当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量mkg、火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg的函数关系是v＝2000ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.[答案] e6－1[解析] 设M＝tm，则有2000ln(1＋t)＝12000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.三、解答题7．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？[解析] 依题意：
得即解得∴甲：y1＝x2－x＋52，又①－②，得p·q2－p·q1＝2 ④②－③，得p·q3－p·q2＝4 ⑤⑤÷④，得q＝2，将q＝2代入④式，得p＝1，将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，∴乙：y2＝2x＋50，计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；当x＝5时，y1＝72，y2＝82；当x＝6时，y1＝82，y2＝114.可见，乙选择的模型较好．8.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．[解析] (1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，∴设y＝kt，代入点(0.1,1)，得k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．同理，将点(0.1,1)代入解析式y＝()t－a，得a＝0.1，综上可知y＝(2)令y＝0.25，解得t1＝0.025，t2＝0.6，
∴从药物释放开始，至少需要0.6小时后，学生才能回到教室．
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