3.2.1几类不同增长的函数模型从容说课通过前面一节课的学习我们对不同类型的增长函数的增长的差异具有了一定的感性认识，在此基础上，本节课主要利用信息技术从图、表两方面首先对具体函数y=2x，y=x2，y=log2x的增长的差异性进行比较.在比较函数y=2x，y=x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择.在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时又利用了类比的方法.然后将结论推广到了一般的指数函数y=ax（a＞1），对数函数y=logax（a＞1），幂函数y=xn（n＞0）在区间（0，+∞）的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax，充分体现了“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的特点.在教学时，结合教材内容向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，对培养学生全面分析问题、解决问题的能力是很有帮助的.三维目标一、知识与技能1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格比较指数函数、对数函数，以及幂函数的增长差异.2.从具体函数的增长的差异性，推广到了一般指数函数、对数函数，以及幂函数的增长的差异性.二、过程与方法1.自主学习，了解三类函数增长的差异性的比较方法.2.探究与活动，在教师的指引下通过特殊函数的增长差异，推广到一般性的结论.三、情感态度与价值观培养学生数学应用意识以及从具体到一般，数形结合的数学思想，激发学生学习热情.教学重点指数函数、对数函数、幂函数的增长的差异性.教学难点指数函数、对数函数、幂函数的增长的差异性的比较.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：通过上一节课的学习，我们应对几类不同增长类型的函数的增长差异有了一个感性的认识，你们知道这些不同增长类型函数的增长的差异性具体体现在哪里吗?生：指数函数、对数函数、幂函数等几类不同增长的函数的增长差异：一次函数是直线上升，指数函数是“指数爆炸”增长，对数函数增长是一个比较平缓的增长.师：这节课我们在对这些不同增长类型的函数的增长差异具有一定感性认识的基础上，把这些函数作一个具体的比较，得出一般性的结论.二、讲解新课我们知道，指数函数y=ax（a＞1），对数函数y=logax（a＞1），幂函数y=xn（n＞0）在区间（0，+∞）上都是增函数，那么这种差异的具体情况到底是怎样的呢？我们不妨先以函数y=2x，y=x2，y=log2x为例进行研究.
（利用投影仪投影出表格一）x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y=2xy=x2y=log2x师：先请同学们利用计算器计算出以步长为0.4的自变量与函数值的对应表.表一x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y=2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y=x20.040.3611.963.244.846.76911.56…y=log2x－2.322－0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…据表在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（如下图），从图象可以看出：虽然他们都是增函数，但是他们的增长速度是不同的，显然指数函数的增长速度是急剧上升，而对数函数的增长速度非常平缓.师：根据图象计算不等式log2x＜2x＜x2与不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.师提示：可以利用二分法，通过求函数y=x2－2x的零点来得到分界点.下面我们在更大的范围内，观察y=2x和y=x2的增长情况.再请同学们利用计算器计算出以步长为2的自变量与函数值的对应表.在投影仪上投影出表二.表二x0246810121416…y=2x14166425610244961638465536…y=x204163664100144196256…据表在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如下图）从图中可以看到y=2x和y=x2的图象有两个交点，这表明了2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＞x2，有时2x＜x2.师：如果我们把步长进一步增大，假如以10为步长我们又可以得到什么样的结论呢？在投影仪上投影出表三.表三
x01020304050607080…y=2x110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+181.18E+211.21E+24…y=x2010040090016002500360049006400…注意：在计数器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E+12.其中，字母“E”表示10这个“底数”之后的整数12，即为1012的指数.画出这两个函数的图象（如下图）师：从图象中我们可以得到怎样的结论（教师引导学生回答）生：当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值增长的越来越快，x2的值比起2x来几乎是微不足道.师：通过对函数y=2x和y=x2的三种范围的函数图象的探索比较，我们可以得到怎样的一般性结论呢？一般地，对于指数函数y=ax（a＞1）和幂函数y=xn（n＞0），通过探索可以发现，在区间（0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.【例1】1995年我国人口总数是12亿.如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿.分析：仔细阅读题目，认真审题，题目中问的是哪一年我国人口总数超过14亿，根据题意，找出人口总数y与年数x的函数关系，列出相应的函数模型.解：设x年后我国人口总数为y，则有y=12·（1+0.0125）x，依题意，得y＞14，即12·（1+0.0125）x＞14，即（1+0.0125）x＞.两边取对数，得xlg1.0125＞lg14－lg12.所以x＞≈12.4.答：13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿.注意：也可利用y=14，即12·（1+0.0125）x=14来解题，但需注意的是根据实际情况如何来取近似值.仿照对y=2x和y=x2的增长的差异性的比较，请同学们借助计数器，通过图象，对y=x2和y=log2x的增长情况进行比较.可以得出这样的结论：在区间（0，+∞）上，总有x2＞log2x.因此同样可以得出一般性的结论：一般地，对于对数函数y=logax（a＞1）和幂函数y=xn（n＞0），通过探索可以发现，在区间（0，+∞）上，随着x的增大，logax增长的越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＞xn.通过以上的比较，结合图表一，我们可以得出：在区间（0，+∞）上，总有x2＞log2x；并且当x＞4时，总有2x＞x2，所以当x＞4时，总有2x＞x2＞log2x.
综上所述，在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax（a＞1），y=logax（a＞1），y=xn（N＞0）都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，y=ax（a＞1）的增长速度越来越快，会远远超过y=xn（n＞0）的增长速度，而y=logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax.三、课堂练习在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况.（课本P119练习）（1）y=0.1ex－100，x∈［1，10］；（2）y=20lnx+100，x∈［1，10］；（3）y=20x，x∈［1，10］.答案：由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加.四、课堂小结本节课我们主要利用“从具体到一般、数形结合的数学思想方法”，通过对几个特殊函数（y=2x，y=x2，y=log2x）的增长性的差异性的比较，得出指数函数y=ax（a＞1）、对数函数y=logax（a＞1）、幂函数y=xn（n＞0）在区间（0，+∞）上的增长的差异性.五、布置作业课本第126页习题3.2A组第3、5题.板书设计3.2.1几类不同增长的函数模型（2）投影仪例1课堂小结与布置作业
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