新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 练习题

2019-2020年高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修11．常见的几类函数模型有：(1)一次函数模型；(2)二次函数模型；(3)指数函数模型；(4)对数函数模型．例如：一等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数解析式是________________．2．一次函数f(x)＝ax＋b(a>0)在区间________上是增函数；二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间________上是增函数．结合它们的图象可知，存在实数x0，当x>x0时就有________．基础梳理1．y＝20－2x(5＜x＜10)2.  g(x)>f(x)1．在实际问题中，建立函数模型时，如果已知这个模型是一次函数，那么确定这个模型需要一些什么样的条件？1．解析：我们知道，一次函数的图象是直线，一般来说，确定直线需要两个独立的条件，即能确定直线的两个条件．2．在实际问题中，如果我们获得了两个变量之间的一组实验数据，若要建立这两个变量间的函数模型，你认为第一步要做什么？2．解析：通常，我们先要画出散点图，根据散点图判断两个变量间可能存在的函数模型．3．通常，描述增长速度比较平缓的函数模型有哪些？3．解析：描述增长速度比较平缓的函数模型有一次函数模型和对数函数模型．1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(  )A．y＝100x  B．y＝100lnx   C．y＝x100  D．y＝100·2x2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年比上一年增长10%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(  )3．一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系，如下图所示，图( 1)表示某年12个月中每月的平均气温．图(2)表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是(  )A．气温最高时，用电量最多B．气温最低时，用电量最少C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加自测自评1．解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100·2x增长速度最快．故选D.答案：D2．解析：设原来荒漠化土地面积为a，则ay＝a(1＋10%)x，即y＝1.1x.故选D.答案：D3．解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高的．因此A项错误．同理可判断出B项错误.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确．答案：C►基础达标1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(  )x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01A.y＝2x－2      B．y＝(x2－1)C．y＝log2xD．y＝1．B2．当2log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x＞x2D．x2>log2x>2x2．解析：方法一 在同一坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2，4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．∴x2>2x>log2x.故选B.方法二 取x＝3，经检验知B正确．故选B.答案：B 3．某债券市场发行三种债券：P种面值为100元，一年到期本息和为103元；Q种面值为50元，一年到期51.4元；R种面值20元，一年到期20.5元．作为购买者，要选择受益最大的一种，分析三种债券的收益，应选择________种债券．3．P4．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系为________．4．解析：由图象可知：当x足够大时，f2(x)＞f1(x)＞f3(x)＞f4(x)．故最终跑在最前面的人具有函数关系为f2(x)＝x.答案：f2(x)＝x5．如右图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是下列图中的(  )5．D6．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(  ) A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点6．解析：由图知，甲、乙同时出发跑的路程相同，甲的速度比乙的速度快，甲先到达终点．故选D.答案：D►巩固提高7．储油30m3的油桶，每分钟流出m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分钟)为自变量的函数的定义域是(  )A．[0，＋∞)B.C．(－∞，40]D．[0，40]7．解析：由t＝30⇒t＝40，故所求定义域为[0，40]．答案：D8．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如右图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是(  ) 8．A9．季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式．(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0，16]，t∈N*，试问该服装第几周每件销售利润L最大？9．解析：(1)P＝(2)因每件销售利润＝售价－进价，即L＝P－Q，故有：当t∈[0，5)且t∈N*时，L＝10＋2t＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2＋6，即t＝5时，Lmax＝9.125；当t∈[5，10)且t∈N*时，L＝0.125t2－2t＋16，即t＝5时，Lmax＝9.125；当t∈[10，16]时，L＝0.125t2－4t＋36，即t＝10时，Lmax＝8.5.综上可得，该服装第5周每件销售利润L最大．10．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据．用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数，且p≠0)或指数型函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由． 10．解析：∵f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，由f(1)＝2，f(2)＝1.2，f(3)＝1.3有：解得p＝－0.05，q＝0.35，r＝0.7，∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3.又∵g(x)＝a·bx＋c，由g(1)＝1，g(2)＝1.2，g(3)＝1.3有：解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4，∴g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4，∴g(4)＝1.35.根据4月份的实际产量可知，选用y＝－0.8×(0.5)x＋1.4作模拟函数较好．1．函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．在实际问题中很多时候需要我们选择判断函数类型．因此我们学会应用熟悉的函数——一次函数、正比例函数与反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数解决实际问题．2．选择确定模型→利用数据表格、函数图象讨论模型→分析讨论模型→体会直线上升、指数爆炸、对数增长．3．对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律，指数增长模型适合于描述增长速度骤变的变化规律．