新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 课件

3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型 主题 三种不同增长的函数模型观察函数y=x2,y=2x,y=log2x在区间(0,+∞)上的图象,思考以下几个问题: 1.三个函数在区间(0,+∞)上的图象有什么特点?提示:三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增. 2.当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快?哪个最慢?提示:三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x增长速度最快,y=log2x增长速度最慢. 3.试着完成下面的填空:函数性质y=2xy=log2xy=x2在(0,+∞)上的增减性_____________________增长速度_________越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与____“平行”随x增大逐渐表现为与____“平行”在(0,+∞)上,随x的增大,图象平稳上升增函数增函数增函数越来越快y轴x轴 结论:1.常见的函数模型_________、_________、_________、_________、_______.一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数 2.y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=xn(n>0)的不同增长情况,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是_______,但它们的_________不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增长,y=ax(a>1)的增长速度会远远超过_________的增长速度,而增函数增长速度y=xn(n>0) y=logax(a>1)的增长速度会_________,在(0,+∞)上总会存在一个x0,当____时,___________.函数____的增长是“爆炸式的”;函数_______的增长越来越慢;函数____的增长比较平稳.越来越慢x>x0logax1)和y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上增长速度怎样?提示:y=ax(a>1)中y随x的增长速度越来越快,y=logax(a>1)中y随x的增长会越来越慢,y=xn(n>0)中y随x的增长速度相对比较平稳. 2.判断某个增函数增长快慢的依据是什么?提示:依据是自变量每改变一个单位,函数值增长量的大小.增长量越大,增长速度越快. 3.当a>1,n>0时,是否对任意x0∈(0,+∞),都有logax00,xn>logaxC.对任意x>0,ax>logaxD.不一定存在x0,使x>x0时,总有ax>xn>logax 【解析】选D.根据函数y=ax,y=xn,y=logax的增长情况判断即可. 2.已知增函数f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为() 【解析】选B.由于过(1,2)点,排除C,D;由图象与直线y=4无限接近,但到达不了,即y>lgxB.2x>lgx>C.>2x>lgxD.lgx>>2x 【解析】选A.结合y=2x,y=及y=lgx的图象易知当x∈(0,1)时,2x>>lgx. 5.(2017·济南高一检测)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精的含量以每小时50%的速度减少,则至少经过________小时他才可以驾驶机动车(精确到小时). 【解析】设n小时后他才可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,n≥log215,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.答案:4 类型一 几类函数模型增长差异的比较【典例1】(1)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A.y=exB.y=100lnxC.y=x100D.y=100·2x (2)四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是哪一个?为什么? 【解题指南】(1)根据指数函数、幂函数、对数函数的增长情况及指数函数的底数对其增长速度的影响来判断.(2)根据不同函数模型的增长特点来判断. 【解析】(1)选A.指数函数呈爆炸式增长,又e>2,所以ex比100·2x增大速度快.(2)最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x,理由如下:显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x. 【方法总结】三种函数模型的表达式及其增长特点的总结(1)指数函数模型:表达式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b≠1),当b>1时,增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”;当01时,增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”;当0h1>h4B.h1>h2>h3C.h3>h2>h4D.h2>h4>h1 (2)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表所示:x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为________,________,________. 【解析】(1)选A.饮各自杯中酒的一半,柱形杯中酒的高度变为原来的一半,其他的比一半大,前三个杯子中圆锥形的杯中酒的高度最高,可排除选项B,C,D. (2)通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,变量y3随x的变化越来越慢,为对数函数;y2随x的变化越来越快,为指数函数;y1随x的变化速度介于指数函数与对数函数之间,为幂函数.答案:y3y2y1 【补偿训练】当x>0时,比较的大小. 【解析】作出函数y=y=的图象(如图所示).由二分法可得,方程的解为x=0.5,方程的近似解为x=0.64118574,方程的近似解为x=0.587774756. 由图及上述近似解可知,当0