关于两堂“几类不同增长的函数模型”课的思考

两堂“几类不同增长的函数模型”课的评析与反思温州市第二十三中学325000谢尚志'苍南县灵溪第二高级中学325800林光來$前不久，在浙江省高中数学课堂教学评比活动中，笔者有幸听到了温州二中张启津老师执教的《儿类不同增长的函数模型》一课，学生配合默契投入，课堂气氛和谐愉快，师生互动风落水上，自然成纹，令我感触颇深；无独有偶，2005年10月，温州市高中数学青年教师课堂教学评比活动的课题Z—•也是《儿类不同增长的函数模型》，当时第一名获得者苍南中学项延行老师执教的一课也是让听课教师耳冃一新，如沐春风，给我留下的深刻的印像。由于是两个不同时期的教学，两堂课的教学设计差别很大，出现了很多问题，引起了同行们的一些争论,因此笔者重新研究课标耍求、教材编写意图，反复推敲两个案例，收获甚多。下面是笔者对这两堂课的认识与思考，望与广大同仁交流学习。1课堂引入环节的比较与评析1.1项老师的课堂引入材料：“玫瑰花”悬案公元1797年，法国元帅拿破仑参观国立卢森堡小学时许下诺言：赠上一束价值12000法郎的玫瑰花，以表两国的友谊，此后，由于连年的征战，拿破仑忘记了这一诺言！时隔97年，也就是公元1894年，卢森堡王国郑重向法国提岀了“玫瑰花”悬案，要求法国兑现诺言，付给卢森堡王国136.1万法郎。问题：当时卢森僂王国是怎么算这笔帐的？（年利率5%）生：1.2-（1+5%）97=136.1（万）.师（追问）：若按这种算法，这笔账到今天乂是多少了？生：1.2-（1+5%）208=30658.8（万）.（注：当时是2005年）此时学生表现出对指数效应的惊人变化的惊叹.1.2张老师的课堂引入今天老师给大家带来两个可爱的礼物（储蓄罐），老师每天都向着两个储蓄 两堂“几类不同增长的函数模型”课的评析与反思温州市第二十三中学325000谢尚志'苍南县灵溪第二高级中学325800林光來$前不久，在浙江省高中数学课堂教学评比活动中，笔者有幸听到了温州二中张启津老师执教的《儿类不同增长的函数模型》一课，学生配合默契投入，课堂气氛和谐愉快，师生互动风落水上，自然成纹，令我感触颇深；无独有偶，2005年10月，温州市高中数学青年教师课堂教学评比活动的课题Z—•也是《儿类不同增长的函数模型》，当时第一名获得者苍南中学项延行老师执教的一课也是让听课教师耳冃一新，如沐春风，给我留下的深刻的印像。由于是两个不同时期的教学，两堂课的教学设计差别很大，出现了很多问题，引起了同行们的一些争论,因此笔者重新研究课标耍求、教材编写意图，反复推敲两个案例，收获甚多。下面是笔者对这两堂课的认识与思考，望与广大同仁交流学习。1课堂引入环节的比较与评析1.1项老师的课堂引入材料：“玫瑰花”悬案公元1797年，法国元帅拿破仑参观国立卢森堡小学时许下诺言：赠上一束价值12000法郎的玫瑰花，以表两国的友谊，此后，由于连年的征战，拿破仑忘记了这一诺言！时隔97年，也就是公元1894年，卢森堡王国郑重向法国提岀了“玫瑰花”悬案，要求法国兑现诺言，付给卢森堡王国136.1万法郎。问题：当时卢森僂王国是怎么算这笔帐的？（年利率5%）生：1.2-（1+5%）97=136.1（万）.师（追问）：若按这种算法，这笔账到今天乂是多少了？生：1.2-（1+5%）208=30658.8（万）.（注：当时是2005年）此时学生表现出对指数效应的惊人变化的惊叹.1.2张老师的课堂引入今天老师给大家带来两个可爱的礼物（储蓄罐），老师每天都向着两个储蓄 罐里存钱，但存钱方式不一样。储蓄罐A：每天存40元；储蓄罐B：第一天存10元，以后每天都比前一天多存入10元。你可以从中选一个，你会选哪个？生：利用一一列举(列表法)顺利解决。师：其实老师还有储蓄罐，今天也拿出来送给大家，三个让大家选，你选哪个？这个储莆罐的存钱方式为：第一天存入0.4元，以后每天存入的钱都比前一天翻一番。生：列出口储蕃量和累积储蕃量的表格，观察数据完成选择。1.3观点与评析项老师创设故事情境，以故事激起学生的兴趣，以问题带动学生的思维，并让学生感受到指数效应Z下，数据增加的速度惊人，借而提岀本课的研究课题。反思其设计发现，此情境只强调指数爆炸增长，虽然能给学生在“数据”上有较大的冲击，但未能给学生学习如何研究函数的增长速度提供有效帮助，学生在课后也只对“数拥”上“指数爆炸”留有卬像，与接下来要研究的例1连结也显得不太自然。张老师用与学生贴近的“选礼物”做为背景引入，不仅能充分激发学的兴趣,而且把例1的题意简洁的表达出來。此设计的关键是张老师先给出两个方案，这就让此问题具有起点低，可操作性的特点，学生很容易入手，在学生顺利解决两个方案的选择后，再给出一个新的“礼物”，具有一定的“冲击力”，保持住学生思维状态，既符合学生的认知规律，乂为接下来的学习、探究提供了思维基础。2例1教学环节的比较与评析2.1项老师的教学处理让学生阅读例1(略)后给岀问题：问题1：各方案每天回报的大小是多少，如何计算？生：分析三种方案的规律，建立函数模型： 方案一：y=40,方案二：y=10x(xeN)方案三：y=0.4x2'T(xwN_)问题2：根据函数模型，如何比较他们的大小？生（在教师的帮助下）:应用计算机列出自己所列三种方案函数对应的每天回报的大小,及增量大小的Excel表格（略）•并回答问题.师（追问）：%1根据表格屮所提供的数据，你对三种方案分别表现出的凹报资金的增长差异有什么认识？%1你能借助计算机或计算器作出函数图象并通过图象描述一下三种方案的函数学模型变化的特点吗？生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出口己的发现，并结合图像（如图1）对三种方案的不同变化趋势作出描述.问题3：根据上面的探究你会选择哪种投资方案,选择的理由是什么？（有学生回答选方案3理由是方案3增长速度快）师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还耍考虑一段时间内的总收益.生：要考虑投资时间，再做岀选择：投资8天以下（含8天）选方案一，8〜10天选方案二，11天（含11天）选方案三。师（追问）：通过本题的探究，同学们对函数模型的增长情况有什么体会？生：体会到指数的爆炸增长与直线的均匀增长。2.2张老师的教学处理问题1：为什么储蓄罐C里的钱会超过A和B里的钱呢？生：通过观察数据■表格，思考发现是因为三种存钱方式的日储蓄量增加速度不同引起的累积储蓄量不同.问题2：C的日储蓄量比B的日储蓄量增长得更快,到底有多快?你们有办法让老师感受到那种快的程度吗？ 生：为了能更清楚的研究它们的增长速度，可以建立三种存钱方式的函数模 型，如下：储蓄罐A:y=40,储蓄罐B:y=10x(xe^+),储蓄罐C:y=0.4x2x_,(xgA^+),并借助计算机做出图象來观察它们的变化特征就可以了.师：和学生一起利用V儿何画板〉做出三个模型的函数图象（孤立的点）,并利用动画演示将孤立的点用曲线连接起來（如图4）.图4师（追问）：你可以根据上面的动画把三个函数模型的增长特征描术出来吗？问题3：生：常数函数不增长，一次函数均匀增长，指数型函数增长得越来越快（爆炸增长）！增长得越來越快是什么意思？生：（教师提示观察日增加量的表格去发现）自变量增加相同值时，函数值增加得值越来越大.2.3观点与评析师：利用V儿何画板〉动画演示一次函数与指数函数增加量的变化情况（如图5）,引导学生小结不同函数的增长特征，并点出本课课题.项老师通过问题1来引导学生讨论归纳出函数模型，也为下面进一步分析模型做铺垫。问题2启发学生利用函数的另外两种表式方法：表格与图象（学生原有认知）进行研究，特别是利用图象的特征描述出三种函数模型的变化特点，从而得出“指数爆炸”、“直线增长”这些感性化的词汇。这两个问题的设计符合学生的认知规律，紧扣思想方法，教师的适时引导与及时追问体现了教师主导与学生主体课堂理念，在当时（05年，浙 江省还没有实施新课程改革）确实让听课教师在教学理念上的有了一次冲击与刷新。可惜问题3的处理笔者以为，项老师没能跳出教材的束缚，把方案的选择（一种结果）留在最后，其实选择方案不是冃的，而且只耍列出日增长量与累积增长量的表格便能解决，这样的处理无意中淡化了本节课的重点：将实际问题转化为函数模型，比较儿类函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸等不同函数类型的增长的含义（一种过程）。张老师的教学中，由于在情境引入环节，学生已经通过列表完成方案的选择（结果），因此，这里环节张老师通过问题1引导学生体会三种存钱方式的增长速度不同，其实是日储蓄量增加的速度不同引起的，这给接下来研究日储蓄量与天数之间的关系埋下伏笔，从而自然的进入对本节课的主题；问题2启发学生思考如果想更全面的研究日储蓄量的增长特征，则需耍建立函数模型，通过对函数的研究（利用图象研究函数的方法是学生已有的知识，符合学生的认识规律）来体验增长速度的变化，并且通过追问让学生自己去概括、总结从图形上直观观察到的增长特征，是一个让学生经历从具体到抽彖的数学建模的过程，坚扣本节课的重点（过程）。而问题3的设计更是本节课的一个亮点，不仅能让学生对增长速度快慢的体会更深刻，而且让学生初步体会数学中如何描述增长的“快”与“慢”，为今后学习平均变化率乞与导数学打下基础，这里也体现岀了张老师的Ax“用教材教”而不是“教教材”教材处理观。3例2教学环节的比较与评析3.1项老师的教学处］与学生一起阅读例2（略）后给出问题:问题1：本例涉及了哪儿类函数模型？它们的增长变化情况怎样？生：有三种函数模型:一次函数、指数函数、对数函数，一次函数直线增长、指数函数快速（爆炸）增长……（多数同学表现对对数学函数学模型增长变化情况存在疑点）问题2：符合公司要求的模型有什么条件，如何用数学式子表达？生：耍对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择即（y