高考数学必修知识讲解几类不同增长的函数模型基础

几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数． （3）指数函数模型（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1．（1）已知函数，分别求在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．（2）比较2x与x2的大小关系．（3）通过作图，比较2x、x2、log2x的大小关系．【答案】（1）3（2）略（3）略【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．（1）应用计算器或计算机，以合适的长列出自变量与函数值的对应值表．x…－2－10246y=2x…0.250.5141664y=x2…41041636y=2x－x2…－3.75－0.510028x810121416…y=2x256102440961638465536…y=x26410014196256…y=2x－x219292439521618865280…应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．∴共有3个零点，分别为x1≈－0.7666，x2=2.000，x3=4.000．（2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x，y=x2，y=log2x的图象，如图所示．当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；当x∈（－0.7666，2.000）时，2x＞x2；当x=－0.7666时，2x=x2；当x∈（2.000，4.000）时，2x＜x2；当x=2.000时，2x=x2；当x∈（4.000，+∞）时，2x＞x2；当x=4.000，2x=x2． （3）当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；log2x不存在；当x∈（－0.7666,0）时，2x＞x2；log2x不存在；当x=－0.7666时，2x=x2；当x∈（0，2.000）时，log2x＜x2＜2x；当x∈（2.000，4.000）时，log2x＜2x＜x2；当x=2.000时，log2x＜2x=x2；当x∈（4.000，+∞）时，log2x＜x2＜2x；当x=4.000时，log2x＜x2=2x．【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x0，使得当x＞x0时，logax＜xn＜ax（a＞1）恒成立．但在（0，x0）上，该不等式不一定成立．举一反三：【变式1】（2015北京高考）三个数中最大的数是．【答案】【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题．，所以最大．故答案为：．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例1】例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．【解析】设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．如图举一反三：【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某市每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法，具体规定如下：用电量（千瓦时）电费（元|千瓦时）不超过200的部分0.56超过200至300的部分0.64超过300的部分0.96解答以下问题：（1）写出每月电费（元）与用电量（千瓦时）的函数关系式； （2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？【答案】（1）；（2）350【解析】（1）当时，     当时，    当时，       （2）由（1）知    由，得x=350   ∴该家庭月用电量为350千瓦时例3．（2016江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：，，当m―n≥0时，称不亏损企业；当m－n＜0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？【思路点拨】（1）通过解不等式m－n≥0，计算即得结论；（2）通过（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x=1时，n－m取最大值【解析】（1）依题意，m－n≥0，即，整理和：，解得：x≥4或x≤－2（舍），∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；（2）由（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，亏损额，∴当x=1时，n－m取最大值，答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例3】【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x=t（0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数y=f（t ）的图象大致是（）ABOx=t【答案】D【解析】函数故选D．例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题．已知本金为a元．1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r)；2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；3期后的本利和为y3=a(1+r)3；……x期后的本利和为y=a(1+r)x．将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255．由计算器算得y=1117.68（元）．答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%． 【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．（1）1年后该城市人口总数为：y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3；……x年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x．（2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）．（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x=120，．（4）设年增长率为x，依题意，得100×(1+x)20≤120，由此有(1+x)20≤1.2，由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%，即年自然增长率应控制在0.9%以内．【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．