必修1-321几类不同增长的函数模型01

7/16/2021(必修1)第三章函数与方程3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型1 你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔，共有35个头，94只脚，那么鸡和兔各有多少只？引入2 大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.孙子的大胆解法：这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数.鸡数就是：35－12＝23.即兔子数是：47－35＝12；引入3 有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸”）4 可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸”）5 一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的.教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸”）6 1.数学模型：就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.2.数学模型方法：是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.基本概念7 例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元.方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元.方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍.请问你会选择哪种投资方案?范例讲解8 例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元，方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元，方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍，解:设第x天所得回报是y元常函数正比例函数指数型函数进行描述范例讲解9 三种方案所得回报的增长情况:范例讲解10 三种方案累计的回报数:结论:投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资方案;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天(含11天)以上,则应选择第三种投资方案.范例讲解11 例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励模型:其中哪个模型能符合公司的要求?范例讲解12 分别做出函数的图象．范例讲解13 (1)确定奖金总数不超过5万的模型：①通过函数图像直观的观察②利用函数的值域来确定结论：符合要求。分析步骤：(2)计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25％范例讲解14 令作出函数的图象：范例讲解15 由图象可知它是递减的，因此即所以，当x∈[10,1000]时，说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25％。综上所述，模型确实能符合公司要求。范例讲解16 一次函数y=kx+b(k>0)、指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logax(a>1)、幂函数y=xn(n>0)在(0,+∞)上都是增函数.为便于研究它们的增长差异，不妨以一次函数y=2x+1、指数函数y=1.5x、对数函数y=log1.5x、幂函数y=x1.5例，观察在(0,+∞)上的图像变化趋势及增长差异情况.用几何画板观察图像变化趋势及图表增量差异一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异17 通过图像和表格，容易看出，随着x的增大，各、函数值的变化及相应增量规律为：⑴直线型均匀上升，增量恒定；⑵指数型急剧上升，增量快速增大；⑶对数型缓慢上升，增量逐渐减少；⑷幂函数型虽上升较快，但随着x的不断增大上升趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增.一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异18 函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述.学习了常数函数、一次函数、指数函数、幂函数、对数函数的图像变化趋势及增量差异：直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解了它们的增长差异性．课堂小结19 再见！谢谢大家！知识是宝库，而实践是开启宝库的钥匙.世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋.20