§3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标 1.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.2.会根据函数的增长差异选择函数模型．知识点一 函数模型一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二 三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质，填写下表. 函数性质 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同增长速度ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax1．先有实际问题，后有模型．( √ )2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( √ )3．增长速度越来越快的一定是指数函数模型．( × )4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1)．( × )
类型一 几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50xB．y＝x50C．y＝50xD．y＝log50x(x∈N*)考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 C解析 四个函数中，增长速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.(2)函数y＝2x－x2的大致图象为( )考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 A解析 在同一平面直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x＞x2，即此时y＞0；当x∈(2,4)时，2x＜x2，即y＜0；当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即y＞0；当x＝－1时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A中的图象符合条件．反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.跟踪训练1 函数f(x)＝的大致图象为( )
考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 D解析 f(x)为偶函数，排除A，B.当x＞1时，y＝lg|x|＝lgx＞0，且增长速度小于y＝x2，所以当x→＋∞时，→0且函数值为正数，故选D.类型二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现例2 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 B解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.反思与感悟 一般来说，函数模型的增长速度与图象关系如下表：增长速度越来越快不变越来越慢图象/跟踪训练2 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是( )
考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 A类型三 函数模型的应用命题角度1 选择函数模型例3 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用( )A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数考点 建立函数模型解决实际问题题点 对数函数模型的应用答案 D解析 四个函数中，A的增长速度不变，B，C增长速度越来越快，其中C增长速度比B更快，D增长速度越来越慢，故只有D能反映y与x的关系．反思与感悟 根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．跟踪训练3 (2017·河南安阳检测)四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x考点 建立函数模型解决实际问题题点 指数函数模型的应用答案 D解析 四个函数模型中，增长速度最快的为f4(x)＝2x.存在x0，当x>x0时，有2x>x2>4x>log2x.即时间足够长时，f4(x)路程最远．故选D.
命题角度2 用函数模型决策例4 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)考点 建立函数模型解决实际问题题点 建立函数模型解决实际问题解 按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利．反思与感悟 建立函数模型是为了预测和决策，预测过程就是依据模型研究相应性质，得到结论后再返回实际问题给出决策．跟踪训练4 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．考点 建立函数模型解决实际问题题点 建立函数模型解决实际问题解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费为y，旅游原价为a.甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)＝(x＋3)；乙旅行社收费：y＝(x＋2)．∵(x＋2)－(x＋3)＝(x－1)，∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．当x＞1时，甲旅行社更优惠.1．下列函数中随x的增长而增长最快的是( )A．y＝exB．y＝lnxC．y＝x100D．y＝2x考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异答案 A2．能使不等式log2x
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