新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 练习题

3.2.1 几类不同增长的函数模型1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( D )(A)一次函数(B)幂函数(C)指数型函数(D)对数型函数解析:初期增长迅速,后来增长越来越慢,可用对数型函数模型来反映y与x的关系,故选D.2.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )(A)f1(x)=x2(B)f2(x)=2x(C)f3(x)=log2x(D)f4(x)=2x解析:由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大,故选D.3.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车,乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( A )(A)在t1时刻,甲车在乙车前面(B)t1时刻后,甲车在乙车后面(C)在t0时刻,两车的位置相同(D)t0时刻后,乙车在甲车前面解析:由题图知甲车在(0,t1)段的曲边梯形的面积大于乙车在(0,t1)段的曲边梯形的面积,面积表示路程,因此甲车在乙车的前面.4.2015年湖北省教育厅出台《湖北省高中招生政策》后,某高中当年的生源质量得到一定的改善.该校计划2018年高考一类上线500人,以后每年比前一年多上线8%,则该校2020年高考一本上线人数大约(四舍五入)是( C )(A)581(B)582(C)583(D)584解析:由题意可得,500×(1+0.08)2=500×1.1664=583.2,所以选C.5.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现,每天每间客房的价格与住房率之间的关系如下:每间每天定价20元18元16元14元住房率65%75%85%95%要使每天收入达到最高,则每间客房定价应为( C )(A)20元(B)18元(C)16元(D)14元解析:四种定价客房每天的收入分别为20×65%×100=1300元;18×75%×100=1350元;16×85%×100=1360元;14×95%×100=1330元. 故每间每天定价16元收入最高.6.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长较快的一个是    . 解析:当x变大时,x比lnx增长要快,所以x2要比xlnx增长的要快.答案:y=x27.长为4,宽为3的矩形,当长增加x,且宽减少时面积最大,此时x=    ,最大面积S=    . 解析:依题意得S=(4+x)(3-)=-x2+x+12=-(x-1)2+12,所以当x=1时,S最大值=12.答案:1 128.已知函数的图象如图所示,试写出它的一个可能的解析式          . 解析:可由题目图象的两点特征去确定.第一点:过两定点(0,1),(10,3).第二点:增长情况.答案:y=lg(x2+1)+1(x≥0)(答案不唯一)9.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式;(2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.思路点拨:由图象可知,函数关系是线性关系,因此,可以用一次函数解决该实际问题.解:(1)由题目图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,35),C(30,15)分别代入,得k1=,k2=. 所以y1=x+29,y2=x.(2)令y1=y2,即x+29=x,则x=.当x=时,y1=y2,两种卡收费一致;当xy2,即使用如意卡便宜;当x>时,y11时,y=()t-a,此时M(1,4)在曲线上,所以4=()1-a,所以a=3,这时y=()t-3. 所以y=f(t)=(2)因为f(t)≥0.25,即解得所以≤t≤5.所以服药一次治疗疾病有效的时间为5-=4个小时.11.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,由于市场发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售.若此时厂家同时出售A,B产品各一件,则相对于没有调价时的盈亏情况是( D )(A)不亏不赚(B)赚5.92元(C)赚28.96元(D)亏5.92元解析:A,B两产品的原价分别为a,b,则a==16,b==36,16+36-23.04×2=5.92,所以比原价亏5.92元,故选D.12.向高为H的水瓶内注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( B )解析:取OH的中点(如图)E作h轴的垂线,由图知当水深h达到容量一半时,体积V大于一半.易知B符合题意.13.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:x12345678…y1248163264128256… y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中,关于x呈指数函数变化的函数是    . 解析:从表格可以看出三个变量y1,y2,y3都随x的增大而变大,但增长速度不同,其中y1的增长速度最快,画出它的散点图(图略)知变量y1关于x呈指数函数变化.答案:y114.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ是正的常数.由放射性元素的这种性质,可以制造出高精度的时钟,用原子数N表示时间t的解析式为    . 解析:N=N0e-λt⇒=e-λt⇒-λt=ln⇒t=-ln.答案:t=-ln15.某乡镇现在人均占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后人均占有y千克粮食,求出函数y关于x的解析式.解:设该乡镇现在人口数量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量360M,经过1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%),人口量为M(1+1.2%),则人均占有粮食,经过2年后,人均占有粮食y=,…,经过x年后,人均占有粮食y=,即所求函数解析式为y=360()x.16.某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,该产品的产量平稳增长.且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lox+a.(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取第1年和第3年的数据求出相应的解析式; (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,第7年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定第7年的年产量.解:(1)最适合的函数模型是f(x)=ax+b,若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=lox+a,则f(x)是减函数,与已知不符合.由已知得解得所以f(x)=x+,x∈N+.故最适合的模型解析式为f(x)=x+,x∈N+.(2)第7年预计年产量为f(7)=×7+=13,第7年实际年产量为13×(1-30%)=9.1,第7年的年产量为9.1万件.