新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 导学案

§3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点).知识点 三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(  )(2)函数y＝log2x增长的速度越来越慢.(  )(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(  )提示 (1)√ 因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值.(2)√ 由函数y＝log2x的图象可知其增长的速度越来越慢.(3)× 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.题型一 几类函数模型的增长差异【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是(  )A.y＝2017xB.y＝x2017 C.y＝log2017xD.y＝2017x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________.解析 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案 (1)A (2)y2规律方法 常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定.【训练1】 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(  )A.y＝exB.y＝100lnxC.y＝x100D.y＝100·2x解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.答案 A典例迁移 题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当00且a≠1)的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是________.解析 根据题意，函数的图象经过点(2，)，故函数为y＝()t.易知①③正确.答案 ①③12.有甲、乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同.甲中心每小时5元；乙中心按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.(1)设在甲中心健身活动x小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元，试求f(x)和g(x)；(2)选择哪家比较合算？为什么？解 (1)f(x)＝5x，15≤x≤40，g(x)＝ (2)当5x＝90时，x＝18，即当15≤x