人教版高中数学教学设计案例《几类不同增长的函数模型》

人教版高中数学教学设计案例《几类不同增长的函数模型》　一、教学任务分析1．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，建立实际问题的函数模型是函数教学的一项重要任务．而要建立实际问题的函数模型，不仅就要理解具体函数的概念和性质，还要能区别它们之间的差异．特别是在选择函数模型描述实际问题增长变化的规律时，更要能比较各个函数在不同范围的增长差异．这对进一步理解函数的增减性、增长（减少）快慢、增长（衰减）率等性质，更好地认识函数模型都有促进作用．2．本节内容的教学目就是能利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同函数类型增长的含义．利用计算工具可以通过函数解析式、图象、表格等多元联系表示来比较函数增长的差异．3．本节内容的教学重点是通过实例比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，并从中体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同函数类型增长的含义．由于一个函数在不同区间的增长情况会有所不同，所以学生要比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，特别是要比较指数函数与幂函数的增长差异，可能会有困难．二、教学基本流程例1、例2体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同函数类型增长的含义比较y＝2x、y＝x2和y＝log2x的增长情况体会指数函数、对数函数、幂函数在不同区间的增长差异小结三、教学情景设计1．通过例1体会直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义（1）提出问题问题：对于例1的三种投资方案，你觉得哪种方案的回报多？为什么？问题设计意图：先让学生凭直觉做出判断，再建立三种方案的函数模型进行准确地分析．这样，学生便可通过对比，对直线上升和指数爆炸有深刻的体会．师生活动：教师引导学生阅读例1，然后让学生凭直觉尝试回答问题．（2）建立实际问题的函数模型问题：怎样才能较为准确地评价三种投资方案？问题设计意图：引导学生将实际问题转化为数学问题，建立三种投资方案所对应的函数模型．师生活动：教师提出问题，学生交流并回答问题． 问题：例1中存在哪些变量？能否分别用函数描述三种方案中变量间的关系？问题设计意图：引导学生分别建立三种投资方案所对应的函数模型．师生活动：学生分析问题中的变量关系，并写出每个方案的函数解析式．在此过程中，当学生在分析变量关系以及求函数解析式遇到困难时，教师适时进行指导．问题：根据所得到的函数解析式，能否合理地选择投资方案？如果不能怎么办？问题设计意图：了解学生对所学函数模型的认知情况，并启发学生对函数进行多元联系表示，从而能直观地进行定性和定量分析．师生活动：学生根据解析式进行分析，并发表对方案选择的观点，教师引导学生将函数由解析式表示为数表和图象．（3）利用计算工具比较三种投资方案所对应的函数模型，并体会它们的增长特点问题：用计算器或计算机作出所得函数的数表和图象，看能否对选择投资方案提供帮助？问题设计意图：利用函数的数表和图象为选择投资方案提供依据，引导学生从局部和整体的角度，对三种方案所对应的函数模型的增长情况进行定量和定性分析．师生活动：学生用计算器或计算机作出三个函数的数表和图象．教师引导学生根据函数的数表和图象分析三种方案的增长情况，并依此对三种方案作出正确的选择．问题：用计算器或计算机求出三种方案每天的增加量和累计量，再对三个函数模型的增长情况作进一步的比较，看对三种函数模型是否有更清楚的认识？问题设计意图：引导学生从本质上对三个函数模型的增长情况作定量分析，为今后进一步研究函数的增长速度和增长率奠定基础．师生活动：教师引导学生利用增加量来刻画三个函数模型的增长速度．问题：对比三个函数模型的增长情况，重新描述一下三种方案的特点？问题设计意图：结合实际问题，让学生通过对比前后的选择方案，体会到直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义．师生活动：教师引导学生联系函数的解析式、数表和图象，对三种方案相应的函数模型的增长情况进行描述．2．通过例2体会对数增长的特点，并进一步体会直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义（1）提出问题问题：通过对例1的解决，你认为应该如何选择例2的三个函数模型？问题设计意图：让学生认识到，应该从定量和定性的角度对题目所给的三个函数进行对比分析．师生活动：教师引导学生阅读例2，学生在教师的引导下对解决问题的方法作出选择．问题：在例2的解决过程中，应该注意哪些问题？问题设计意图：让学生关注实际问题的条件对函数模型选择的约束，养成分析问题解决问题的良好习惯．师生活动：教师提出问题，学生通过对题目的进一步分析，得出在选择函数模型时应注意：在区间[10，1000]上分析，y不大于5，y与x的比值不大于25%．（2）利用计算工具选择函数模型，并体会三个函数模型的增长特点问题：例2涉及到哪几类函数模型？对它们进行选择的本质是什么？问题设计意图：让学生认识到，问题的本质就是要比较三个函数的增长情况是否符合题目的要求．师生活动 ：教师引导学生进行分析，题目所涉及到的奖金是随利润的增加而增加，所以用以刻画这一变化规律的函数模型应该是增长型的．但题目所提供的三个模型都是增长型的，所以问题的本质就是要对它们的增长情况进行比较，从中挑选出符合题目要求的模型．问题：你是如何选择三个函数模型的？问题设计意图：引导学生认识到，虽然利用函数的数表和图象都可为选择投资方案提供依据，但数表利于从局部较为准确地定量反映函数的变化情况，而图象则利于从整体定性地描述函数变化的概貌．所以应结合问题的具体情况，选择从局部或整体的角度，对已知的三个函数模型的增长情况进行定量或定性分析．师生活动：引导学生用计算器或计算机作出已知的三个函数以及y＝5的图象，通过对图象的分析，初步选择函数y＝log7x＋1作为奖励模型．问题：你的选择一定正确吗？是否需要作进一步的说明？问题设计意图：让学生认识到，虽然利用计算工具能简捷地作出图象，并帮助我们直观地进行判断，但对所得出的判断结果，还需要进行严格的证明．以此帮助学生形成良好的思维品质．师生活动：教师引导学生通过计算和证明，说明函数y＝0.25x和y＝1.002x都不符合奖励模型的要求，而只有函数y＝log7x＋1符合奖励模型的要求．问题：你对例1和例2所涉及到的函数模型的增长特点有何认识？问题设计意图：让学生通过对具体函数的分析，形成对其所涉及的各类函数模型增长特点的概括性认识，并通过归纳总结，加深对各类函数模型增长含义的体会．师生活动：学生进行交流，并归纳出：一次函数具有直线上升的增长特点，指数函数具有爆炸性上升的增长特点，对数函数具有平缓上升的增长特点．3．通过比较y＝2x、y＝x2和y＝log2x的增长情况，进一步认识指数函数、幂函数、对数函数在不同区间的增长差异问题：作出函数y＝2x、y＝x2和y＝log2x的数表和图象，看它们有何增长差异？问题设计意图：学生通过作函数的数表和图象，在一定区间范围对三个函数的增长差异形成初步的认识．师生活动：先让每个学生独立地用计算器或计算机作出三个函数的数表和图象，然后大家进行交流．对函数y＝log2x分别与函数y＝2x、y＝x2的增长差异形成统一认识．由于不同学生研究的区间范围不同，所以大家对函数y＝2x和y＝x2增长差异的认识会有所不同．教师组织学生对所得到的不同结论展开讨论．问题：你所作的函数数表和图象是否全面地反映出了这几个函数的增长差异？通过例1知道，函数在不同区间的增长情况会有所不同，这对分析这几个函数的增长差异有何启发？问题设计意图：引导学生在不同的区间范围，多角度地对函数y＝2x和y＝x2的增长差异进行定量和定性分析，从而全面地把握它们的增长特点．师生活动：教师引导学生用计算器或计算机作出函数y＝2x和y＝x2在不同区间的数表和图象，并根据所作的数表和图象从多角度地分析两个函数的增长差异，进而形成统一的认识．问题：通过比较函数y＝2x、y＝x2和y＝log2x，你对指数函数、幂函数、对数函数的增长差异有何新的认识？问题设计意图：让学生通过对具体函数的分析，形成对其所涉及的各类函数模型之间的增长差异的概括性认识．师生活动：学生进行交流，并归纳出：尽管指数函数y＝ax（a>1）、幂函数y＝xn（n>0）、对数函数y＝logax（a>1）都是增长型的函数，但它们的增长情况有很大的差异．总体上，随着x的增大，指数函数y＝ax（a>1）的增长速度越来越快，并远远超过另外两个函数；幂函数y＝xn（n>0）的增长速度也越来越快，并超过对数函数y＝logax（a>1 ）；对数函数y＝logax（a>1）的增长速度则越来越慢．不过，在局部区间，上述情况可能会有所不同．4．小结问题：通过本节的学习，你对过去所学过的函数模型是否有进一步的认识？问题设计意图：引导学生对本节所学内容进行归纳总结，形成对指数函数、对数函数以及幂函数增长差异的进一步认识，加深对不同函数类型增长含义的体会．师生活动：教师组织学生进行交流，并让学生对本节所学内容进行归纳总结．问题：通过本节的学习，对选择函数模型刻画实际问题有哪些帮助？问题设计意图：让学生认识到，在选择函数模型刻画实际问题时，应结合具体问题对所选函数模型的增长情况进行分析，根据函数模型的增长特点作出选择．不同的实际问题对应着不同的变量取值范围，适宜刻画其变化规律的函数模型也会有所不同，有时可能仅有一个，有时可能允许有多个．师生活动：教师组织学生进行交流，学生将交流情况进行汇报，然后师生一起进行总结．四、教学设计说明1．由于与函数增长有关的性质，学生仅学过单调性，而尚未学过增长率和增长快慢，所以要研究不同增长的函数模型，教学就应该充分结合实际问题，建立函数的解析式与数表、图象的联系，从不同角度、不同范围对函数进行研究．这样设计教学，既符合学生由具体到抽象的认知规律，又利于向学生渗透数形结合的思想方法，还有助于学生学会辩证地看问题，形成联系的观点，同时也加强了学生分析问题解决问题的能力．2．教学问题的设计，从学生熟悉的实际背景和函数模型出发，注重从具体到抽象，不断地提供给学生归纳概括的机会，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生对数学知识的认识过程，让学生感到亲切自然．3．教学设计注重引导学生积极地对函数进行定性和定量的分析，尊重数学知识的发展过程，培养学生数学学习的基本方法．4．由于作相同函数的图象和数表，不同学生选择的区间范围会有所不同，所以在比较函数y＝2x、y＝x2和y＝log2x的增长差异时，教学采取了由学生独立完成相互交流的方法，这有利于让学生主动地发现应该在不同的区间范围进行比较，从而克服了比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异这一教学难点．5．认识不同函数模型的增长特点及其差异的目的，主要是为了更好地选择函数模型刻画实际问题的变化规律．所以，教学问题自始至终都紧密围绕实际问题展开，在解决了实际问题之后，又都要求学生对所涉及的函数模型的增长特点进行回顾与反思，使学生总能够结合实例体会不同函数类型增长的含义．