高中数学人教A版必修1 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 课后习题

3.2.1 几类不同增长的函数模型一、A组1.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是(  )A.B.C.-1D.-1解析:设月平均增长率为x,1月份的产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=,故x=-1.答案:D2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(  )解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.答案:D3.现有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(  )A.V=log2tB.V=lotC.V=D.V=2t-2解析:当t=4时,选项A中的V=log24=2, 选项B中的V=lo4=-2,选项C中的V==7.5,选项D中的V=2×4=8,故选C.答案:C4.已知光线通过一块玻璃其强度要失掉原来的,若要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,则至少需要重叠这样的玻璃的块数是(lg3≈0.4771,不考虑其他损耗)(  )A.10B.11C.12D.13解析:设原光线的强度为a,重叠x块玻璃后,通过玻璃的光线强度为y,则y=a(x∈N*),令y.∵≈10.4,即x>10.4.故选B.答案:B5.若a>1,n>0,则当x足够大时,ax,xn,logax的大小关系是             . 解析:由三种函数的增长特点可知,当x足够大时,总有logax0)D.y=logax+b(a>1)解析:通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而选项A,D中的函数增长速度越来越慢,而选项B中的函数增长速度保持不变,故选C.答案:C2.若x∈(0,1),则下列结论正确的是(  ) A.2x>>lgxB.2x>lgx>C.>2x>lgxD.lgx>>2x解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=,y=lgx的图象.如图所示,由图可知当x∈(0,1)时,2x>>lgx.答案:A3.已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=      ,经过5小时,1个病毒能繁殖      个. 解析:当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln2,∴y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1024.答案:2ln2 10244.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是     . 解析:看横轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.答案:①②③5.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好?解:方案一:5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).方案二:5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.6.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=p·qx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好?解:依题意得即解得 ∴甲:y1=x2-x+52.又②-①,得p·q2-p·q1=2,④③-②,得p·q3-p·q2=4,⑤⑤÷④,得q=2.将q=2代入④式,得p=1.将q=2,p=1代入①式,得r=50.∴乙:y2=2x+50.计算当x=4时,y1=64,y2=66;当x=5时,y1=72,y2=82;当x=6时,y1=82,y2=114.可见,乙选择的模型较好.