第三章 3.2.1 几种不同增长的函数模型

第三章3.2.1几种不同增长的函数模型一、教学目的1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。二、教学重点、难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。三、教学过程1、复习引入几类不同增长的函数模型2、新课例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1）每天回报40元；2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）设问：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元140010 0.4 240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2………………… 3040030010214748364.8107374182.4根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。Y=0.4×2x-1(x)从每天的回报量来看：第1~4天，方案一最多：每5~8天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；设问：有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三。累积回报表天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440 二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论投资1~6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。例题的启示：解决实际问题的步骤：（1）实际问题（2）读懂问题抽象概括（3）数学问题（4）演算推理（5）数学问题的解（6）还原说明（7）实际问题的解例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％，由于公司总的利润目标是1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司的总的利润。于是，只需在区间【10，1000】上，检验三个模型是否符合公司要求即可。解：见书本P97解：作出图像，1、否决，从图象上：看在[10,1000]上，都有一部分在上面；注意：图象的功能和误差性。计算确认：（1）时且，所以该模型不符要求。（2）解，知，即在内有一点满足而在[10,1000]上是增函数，所以，时，，所以，所以该模型也不符要求。2、确定函数的有效性：在[10,1000]上为增函数，但当时， 所以，符合不超过5万元的要求，再有，令，作出图象知，为减函数，所以，，所以，，所以，当时，有，所以，奖金不会超过利润的25%。综上所述，模型符合要求。3.概括一般地：例3.探究函数模型的增长情况并分析差异。先分析函数的增长情况并分析差异。1、用几何画板作出三个函数的图象；2、指出都为增函数但增长速度不一样；3、在时，和有两个交点，即时时时4、当充分大时，远大于几乎是垂直上升，即为指数爆炸。5、在区间(0,+∞)上，随着x的增大，增大得越一越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。其趋势远小于的增长；一般地，结论1：在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.结论2：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越一越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内，logax可能大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax1)、对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xa(a>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，指数函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y=xa(a>0)，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax