新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 练习题

3.2.1 几类不同增长的函数模型1．一次函数的增长问题一次函数y＝kx＋b(k＞0)在区间(0，＋∞)上是增函数，其增长的速度不变，k越大，其增长得越快．【例1】下列函数增长速度最快的是(  )A．y＝x＋1B．y＝2x－1C．y＝6x－5D．y＝20x－7解析：四个选项中的函数都是一次函数，且系数k均为正数，选项D中k＝20最大，则函数y＝20x－7增长速度最快．答案：D2．对数函数的增长问题对数函数y＝logax(a＞1)在区间(0，＋∞)上是增函数，其增长的速度较慢，随着x的增大，y＝logax的图象类似于与x轴“平行”一样，如图所示．其底数a越小，增长的速度越快．【例2】下列函数增长速度最快的是(  )A．y＝log2xB．y＝log6xC．y＝log8xD．y＝lgx解析：四个选项中的对数函数在区间(0，＋∞)上均是增函数，选项A中y＝log2x的底数2最小，则函数y＝log2x增长速度最快．答案：A3．幂函数的增长问题幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上是增函数，其增长速度较快，其图象如图所示(在第一象限内)，其指数n越大，增长的速度越快．【例3】下列函数中增长速度最快的是(  )A．y＝x2B．y＝x3C．y＝x4D．y＝x7解析：四个选项中的函数都是幂函数，且指数均为正数，选项D中y＝x7的指数7最大，则函数y＝x7的增长速度最快．答案：D 4．指数函数的增长问题指数函数y=ax(a＞1)在区间(0，+∞)上是增函数，其增长速度最快，其图象如图所示(在第一象限内)．其底数a越大，增长的速度越快．【例4】下列函数中，增长速度最快的是(  )A．y＝2xB．y＝3xC．y＝5xD．y＝10x解析：四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y＝10x的增长速度最快．答案：D5．几类不同增长的函数模型的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势比较(2)我们知道，对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．这三类函数的增长是有差异的，我们不妨以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例进行探究．①在同一坐标系内，作出函数图象，如图1．观察归纳结论：y＝2x和y＝x2都比y＝log2x增长得快，但是y＝2x与y＝x2的增长情况区分度不明显． ②观察y＝2x和y＝x2的增长情况．在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图2．观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2x＞x2，有时x2＞2x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的．一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn．(3)观察y=x2和y=log2x的增长情况．在同一直角坐标系内画出函数y=x2和y=log2x的图象．观察归纳结论：在区间(0，+∞)上，总有x2＞log2x．对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就逐渐接近与x轴平行，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn．综上所述，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax(a＞1)，y=logax(a＞1)和y=xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n＞0)的增长速度，而y=logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜xn＜ax．【例5－1】当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(  )A．y＝100xB．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x增长速度最快．答案：D【例5－2】当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是(  )A．2x＞x2＞log2xB．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x解析：本题主要考查三种递增函数增长的差异，以及应用函数解决问题的能力．思路1：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x．思路2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法，可取x＝3．经检验易知选B． 答案：B6．体会指数函数的增长速度(1)感受直线上升、对数增大、指数爆炸以y＝kx＋b(k≥0)，y＝logax(a＞1)，y＝m·xα(α＞0)，y＝m·ax(a＞1)为例，结合图象比较它们的增长情况．①通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．②通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会：直线上升，其增长量固定不变；指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的．随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增大”可以用“指数爆炸”来形容；对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升．(2)一般的分析方法是：①在同一坐标系下正确、规范地作图；②找到不同函数图象的交点；③注重每种函数自身的单调性；④整体把握；⑤抓住各种增长模型的增长速度．(3)三种递增函数中，由于指数函数增长得最快，因此，当自变量充分大时，指数函数值最大，但必须是达到一定程度．因此判断一个增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增加到一定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数．【例6－1】四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是__________．解析：从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2．答案：y2点技巧函数模型的判断依据 在线性函数、指数函数、对数函数、幂函数四种递增函数中，线性函数的增长速度不变，当自变量充分大时，指数函数增长得最快，对数函数增长较为平缓，幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间．因此，判断一个增函数为某个函数模型的依据是函数值增长量的变化．【例6－2】某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解析：作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象，利用图象求解．解：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝90.2x 的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．点技巧选择函数模型的方法 根据实际情况选择函数模型的一般思路是：先画出散点图，作出模拟函数的图象，然后根据实际情况选择合适的函数模型．7．图象信息迁移问题用函数图象分析函数模型是一种常见的题型，是高考中一道亮丽的风景线．主要考查学生识图的能力，利用图象信息分析问题和解决问题的能力．这类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值等)即可得到完美的解决．例如：一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(  )A．①    B．①②C．①③D．①②③解析：由甲、乙两图可知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点只进水不出水．3点到4点有一个进水口进水，一个出水口出水．4点到6点，两个进水口和一个出水口可以同时进水和出水或者两个进水口和一个出水口不进水也不出水．因此一定正确的是①．故选A．答案：A__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例7－1】下图所示的是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有(  ) (1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2009年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2010年；(4)虽然2011年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A．1项   B．2项   C．3项   D．4项解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活费价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2009～2010年最陡，故(2)正确；“生活费价格指数”在2010～2011年最平缓，故(3)不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确．答案：C【例7－2】某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温为37℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是(  )解析：观察图象A，体温逐渐降低，不符合题意；图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”；图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”．综上，只有C是正确的．答案：C【例7－3】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2013)，g(2013)的大小．解析：(1)随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x ，另一个函数就是幂函数y＝x3．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x．(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10．∴x1＜6＜x2,2013＞x2．从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)．当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2013)＞g(2013)．又g(2013)＞g(6)，∴f(2013)＞g(2013)＞g(6)＞f(6)．