3．2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
[基础·初探]教材整理 几类不同增长的函数模型阅读教材P98～P101，完成下列问题．1．三种函数模型的性质 函数性质 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐与y轴平行随x的增大逐渐与x轴平行随n值的不同而不同2.三种函数增长速度的比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．( )(2)函数y＝logx衰减的速度越来越慢．( )(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.( )【解析】 (1)√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值．
(2)√.由函数y＝logx的图象可知其衰减的速度越来越慢．(3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[小组合作型]函数模型的增长差异 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A．y＝2016xB．y＝x2016C．y＝log2016xD．y＝2016x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【精彩点拨】 指数函数增长速度最快．【自主解答】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.【答案】 (1)A (2)y2
1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[再练一题]1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )【导学号：97030138】A．y＝exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x【解析】 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.【答案】 A根据函数图象确定函数模型 图321
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图321所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2016)，g(2016)的大小．【精彩点拨】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．【自主解答】 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2016＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2016)＞g(2016)．又g(2016)＞g(6)，∴f(2016)＞g(2016)＞g(6)＞f(6)．根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.[再练一题]2．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图322所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
图322【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当xf(x)；当x1x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．[探究共研型]函数模型的选择探究1 在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？【提示】 一次函数、指数函数、对数函数．探究2 在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？【提示】 前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型． 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？【精彩点拨】 (1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；(2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值．
【自主解答】 (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x.(x∈[0.5,8])∵y＝－x2＋x＝－2＋，∴当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是L.不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．[再练一题]3．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？【解】 根据题意可列方程组：
解得所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②再将x＝4分别代入①与②式得：f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型( ) x45678910y15171921232527A.一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【解析】 自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.【答案】 A2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝1B．y＝xC．y＝3xD．y＝log3x【解析】 结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.【答案】 C
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】 D4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________.【导学号：02962023】【解析】 A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．【答案】 (4) (1) (3) (2)
5．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如图323所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．图323【解】 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当xh(x)>g(x)；当1h(x)；当eh(x)；当af(x)；当bf(x)；当cg(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
亲情树幼儿园大班学期总结一．汉字写笑房平春书母言鸟住出猫里洞屋百空节世车牛羊小少巾牙尺毛卜又心风力手水广升足走方半巴业本平书自己乐西回片皮生里果几用鱼今正雨两瓜衣来年左右天雪雷女男东南北前后青狗猫我太阳们你亮高矮飞机包宝老树木林森哥妹唱星草荷夏秋冬鸡鹅马奶页爷姐爸妈二．拼音声母bpmfdtnlgkhjqxzhchshrzcsyw单韵母aoeiuu复韵母aieiuiaoouiuieueeraneninununangengingong整体认读音节zhichishirizicisiyiwuyuyeyueyuanyinyunying⑸标调口诀有a在，把帽戴，a要不在o,e戴。要是i,u一起来，谁在后面给谁戴。⑹拼读儿歌小u见到jqxy,摘下帽子行个礼，去掉两点还念u，jqxy怪脾气，从来不和u相拼。三．儿歌（古诗）《猜灯谜》一盏灯，两盏灯，盏盏花灯贺新春。写满谜语仔细猜，大家都来动脑筋。你也猜，我也猜，比比看谁最聪明。条条谜语猜出来，笑声唤出满天星。《春天是一本书》春天是一本彩色的书：黄的迎春花，红的桃花，绿的柳叶，白的梨花......春天是一本会唱歌的书：春雷轰隆隆，春雨滴滴答，燕子唧唧唧，青蛙呱呱呱......春天是......《游子吟》慈母手中线，游子身上衣。临行密密缝，意恐迟迟归。谁言寸草心，报得三春晖。《摘樱桃》喵喵喵，馋嘴猫，辣椒地理摘樱桃。咬一口，没有水，辣得小猫直咧嘴儿。《儿童节》我梦见：在我的花园里，开满了，全世界各地的花朵。我和黑孩子、白孩子，在花丛里，飞翔又唱歌。今天——“六一”儿童节，当我们真的欢聚在一起，都说，比那梦里还快乐！《小青蛙》小青蛙，呱呱呱，蹲在荷叶下，鼓眼睛，大嘴巴，身穿绿马褂。爱捉虫，人人夸，辛勤护庄稼。《春晓》春眠不觉晓，处处闻啼鸟。夜来风雨声，花落知多少。《夜宿山寺》危楼高百尺，手可摘星辰。不敢高声语，恐惊天上人。《我是小小气象员》我是气象小宝宝，今天天气我来报。风儿吹得树枝摇，雨点哗哗浇苗苗。快呀快呀别吵闹，闪电总比雷声早。《小画笔真神奇》小画笔，真神奇，画匹小马四只蹄，画只小鸭放水里，画只小猴真顽皮。画辆小车嘀嘀嘀，带我从东跑到西。《春天的音符》嫩柳枝，是舞步，桃花瓣瓣是音符。小溪潺潺绕山谷，春天的味道洒满路。《草》离离原上草，一岁一枯荣。野火烧不尽，春风吹又生。《鼓与老虎》一面小花鼓，鼓上画老虎。宝宝敲破鼓，妈妈用布补。不知是布补虎，还是布补鼓。四．拼音车水马龙出类拔萃九牛一毛入木三分举一反三取长补短守株待兔亡羊补牢拔苗助长画蛇添足掩耳盗铃狐假虎威坐井观天自相矛盾胸有成竹一帆风顺二龙腾飞三羊开泰四季平安五福临门六六大顺七星高照八面玲珑九九归一十全十美百事可乐万事如意才高八斗一鼓作气东山再起青出于蓝
三．音乐《小白船》蓝蓝的天空银河里，有只小白船船，上有棵桂花树，白兔在游玩，桨儿桨二看不见，船上也没帆，飘呀飘呀飘向西天，渡过那条银河水，走向云彩国，走过那个云彩国，再向哪儿去，在那遥远的地方，闪着金光晨星，是灯塔照呀照得。《放飞梦想》阿u阿u真可爱，每天生活多姿又多彩，和我一起分享明媚阳光，脑筋转转调皮可爱，我要快乐的成长，聪明伶俐追我的梦想，挥动童年的翅膀，我要飞翔迎着风儿大声唱，不哭不闹只要坚强，任何难题我都不怕，手牵着手我们一起闯，不怕困难笑脸盛开，不哭不闹只要坚强，任何难题我都不怕，手牵着手我们一起闯，不怕困难笑脸盛开。《阳光男孩阳光女孩》你的童年我的童年好象都一样，小小肩膀大大书包，上呀上学堂，新的时代新的主张，新新的模样，快乐学习德智体美，个个是强项，贪玩耍讲义气，我们都一样.校内校外一不留神，就会把祸闯，回到家里，爸爸妈妈脸儿又拉长，见势不好爷爷奶奶身后藏一藏，唠叨的话，可以不可以不讲，给我一片，自由自在同龄人广场，让我们自己创造，也许会更好，不知不觉就会超过，你们的想象，我说妈妈呀，可以不可以让我有个，可以完全放松的角落，放松的角落，有许许多多漫画和我最爱最炫的罗那尔多现在，一切属于意外，老师竟然夸我是个天才，您的唠叨无处不在琴棋书画文理双赛补锌补铁补血补钙呀你的童年，我的童年好象都一样，小小肩膀大大书包上呀上学堂新的时代新的主张，新新的模样，快乐学习德智体美，个个是强项唠叨的话可以不可以不讲，给我们一片自由自在同龄人广场让我们自己创造也许会更好，不知不觉就会超过你们的想象事实上，无论什么什么做对了也象错了一样因为好象我们好象比较容易让大人们紧张真的好想能够不上学象超人一样自由飞翔没有妈妈叫我起床不行不行不能这样，好好学习德智体美1234567妈妈我真的爱你你就是你我就是我，个性要张扬在校不做书呆子，居家不做小皇上充满友爱充满幻想充满时尚
阳光男孩阳光女孩，阳光下成长 ▲请给下面每组中的加横线的字注音。中山（）长白山（）少年（）茶几（）中奖（）长大（）少见（）几个（）▲请把下列句子标上拼音声调。1.冬天到了，小朋友们在举行滑雪比赛。2.秋天到了，树叶落下来了，农民伯伯在忙着摘果子。3.夏天到了，青蛙在池塘的荷叶上唱起了歌。4.春天到了，小树发芽了，小燕子也飞回来了。5.爸爸周日带我去公园玩儿。6.妈妈给我们做了一顿丰盛的晚餐。7.姐姐每天坐公交车去上学。▲请给下列词语标上拼音声调。奶牛汽车山羊小鸟太阳毛巾跑步茶几萝卜手机发芽雨伞金鱼小猫风车心形雨水升旗走路广大十足
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