3.2.1几类不同增长的函数模型疱丁巧解牛知识·巧学·升华利用计算器或计算机列数据表，作出几种函数的图象，比较指数函数、一次函数、常数函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.资料剖析：例1是与我们生活息息相关的问题，如何投资才能得到更大利润？例题的解答过程为我们展示了新的思路、方法.先建立三种投资方案所对应的函数模型，用计算器、计算机作出三个函数的图象，探索比较它们的增长情况，最后得出相应的结论，为选择投资方案提供依据.资料剖析：例2是具有探索性的问题.先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.深化升华注意此处空半格通过例1、例2的学习，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.我们在解题中，应大胆尝试、大胆探索，提高数学的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，发展独立获取数学知识的能力.问题·思路·探究问题如何正确地将实际问题转化为函数模型，如何确定函数模型的种类.探究:正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键.我们是通过对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较来确定函数模型的种类.比如：某信息研究所对猪肉的市场需求量和供给量进行了市场调查，得到以下数据：价格为4元/千克，需求量为80吨，供给量为56吨；价格为4.8吨/千克，需求量为77吨，供给量为68吨；价格为5.6吨/千克，需求量为73吨，供给量为74吨；价格为6.5吨/千克，需求量为65吨，供给量为80吨；价格为7.2吨/千克，需求量为60吨，供给量为90吨.试分析市场的供求规律，探求市场的供需平衡点（即供给量和需求量相等点）.先将问题的信息浓缩为下面的表格，可以直观地抓住问题的关键信息：价格P（元/千克）44.85.66.57.2需求量Q（吨）8077736560供给量Q（吨）5668748090运用数据拟合的方法，将收集的数据绘制在图表上，建立需求曲线和供给曲线，提供以下几种不同的方案参考：方案一：认为散点近似地落在两条直线上，建立直线模型，通过求出两直线的交点，寻求市场的供需平衡点；方案二：认为散点近似地落在两条抛物线上，建立抛物线模型；方案三：认为散点近似地落在两条指数曲线上，建立指数曲线模型.典题·热题·新题例1一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年以10%衰减.（1）求7年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（精确到0.1）.注：剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期.思路解析：首先根据经过1年、2年的放射性元素质量ω，归纳出t年后，这种放射性元素质量ω的表达式，然后再根据函数表达式，求这种放射性元素的半衰期.解：（1）最初的质量为500g经过1年，ω=500（1-10%）=500×0.91；
经过2年，ω=500×0.92；由此推知，t年后，ω=500×0.9t.（2）解方程500×0.9t=250，0.9t=0.5，lg0.9t=lg0.5，tlg0.9=lg0.5，∴t=≈6.6，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.拓展延伸注意此处空半格感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学中的重要性，对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.例2某工厂今年一月、二月、三月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c（其中a、b、c是常数），已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由.思路解析：先根据一月、二月、三月份的产量，求出二次函数和y=a·bx+c（a、b、c是常数），然后看哪一个函数求出的四月份产量与实际产量1.37万件误差较小，从而可选哪个作为模拟函数.解：设二次函数为f1（x）=a1x2+b1x+c1.根据题意，得解得解得a1=-0.05，b1=0.35，c1=0.7.于是f1（x）=-0.05x2+0.35x+0.7，又由y=f2（x）=a·bx+c，得解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.于是f2（x）=-0.8×0.5x+1.4，所以｜f1（4）-1.37｜=0.07，｜f2（4）-1.37｜=0.02，｜f1（4）-1.37｜＞｜f2（4）-1.37｜.因此，用f2（x）=abx+c作模拟函数较好.深化升华注意此处空半格正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键.转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类.例3有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式：P=，Q=
.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？思路解析：首先应根据题意，建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再转化为求函数最大值问题.解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为（3-x）万元，总利润y万元，据题意有y=x+（0≤x≤3），令=t，则x=3-t2，0≤t≤，所以y=（3-t2）+t=-（t-）2+，t∈［0，］.当t=时，ymax=1.05，此时x=0.75，3-x=2.25.由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的总利润为1.05万元.拓展延伸注意此处空半格解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法.换元法是求无理函数最值的常用方法，利用换元法将一个无理式转化为有理式，通过二次函数求得最值，在换元过程中，要注意变量取值范围的变化.例4下面是反映某国从1800年到1980年间人口数量的一批数据资料.（单位：百万）从下图所反映的数据来看，当年份x每隔10年增长时，该国的人口数y近似地按一定比例的倍数增长，其几何上的图形与细菌繁殖的图形相类似，这就告诉我们可以用一个指数函数模型近似地刻画这个国家人口的变化情况.现在让我们作进一步的分析.思路解析：用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题关系，进行数学上的计算求解，学会分析、处理数据，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.答案：考查近几十年的资料：年份人口数10年中增长的倍数192010602000019301232000001.16219401321600001.07319501513300001.14519601793200001.18519702033000001.13419802265400001.114从1920年到1930年中，平均每年增长≈
1.015；而从1920年到1980年这60年来看，通过类似计算，平均每年增长率约为1.103.以这段时期的中间年份1950年的人口数作为初始数据，记x为年份数，则对该国人口数y（百万）的较好的一个近似的指数函数模型为y=151·（1.013）x-1950.以此为据，可以预测到2000年时，这个国家的人口数为151·（1.013）2000-1950=151·（1.013）50≈288000000（人）.很自然地，也会提出“什么时候，该国的人口数达到4亿”这样一类的问题，这也就是在现在的指数函数模型中，已知y，求指数x的问题，正是我们所熟悉的对数函数.若对前面所给出的1790—1980年的数据资料作更为详尽的分析，便可以得到在不同时期，该国的人口数y（百万）所满足的指数函数模型深化升华注意此处空半格我们在解题中，应大胆尝试、大胆探索，提高数学的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，发展独立获取数学知识的能力.探索比较它们的增长情况，最后得出相应的结论，为选择所满足的指数函数模型.例5有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式：P=，Q=.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得的最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？思路解析：首先应根据题意，建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再转化为求函数最大值问题.解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为（3-x）万元，总利润y万元，据题意有y=x+（0≤x≤3）.令=t，则x=3-t2，0≤t≤.所以y=（3-t2）+t=-（t-）2+，t∈［0，］.当t=时，ymax=1.05，此时x=0.75，3-x=2.25.由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的总利润为1.05万元.深化升华注意此处空半格解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法.换元法是求无理函数最值的常用方法，利用换元法将一个无理式转化为有理式，通过二次函数求得最值，在换元过程中，要注意变量取值范围的变化.
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