3.2.1 几类不同增长的函数模型1.知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下,使学生探求函数在实际中的应用,并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题.2.过程与方法(1)培养学生应用数学的意识及分析问题、解决问题的能力;(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力.3.情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,认识事物之间的普遍联系与相互转化,在实践研究中,培养学生的创新精神,团结协作精神,激发学生学习数学的兴趣.重点:将实际问题转化为函数模型,训练学生通过实践探求函数在实际中的应用.难点:怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题.重难点突破:主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解.首先对具体函数y=2x,y=x2,y=log2x的增长的差异性进行比较.在比较函数y=2x,y=x2的增长的差异性时,分别选择了三个不同的步长进行研究,这样就更能反映这两类函数的增长的特点,在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究,能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择.在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法,然后将结论推广到一般的指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logax(a>1)、幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)的增长的差异性,即存在一个x0,当x>x0时,ax>xn>logax,充分体现了“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的特点.整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法,培养学生全面分析问题、解决问题的能力.
1.澳大利亚的兔子数“爆炸”1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口,这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪50年代,科学家采用粘液瘤病毒杀死了90%的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间条件充裕,气候适宜,没有敌害等)下,种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限的环境(空间有限,食物有限,有捕食者存在等)中,种群增长到一定程度(K)后不再增长,曲线呈“S”型.从数学上来看,可以用指数函数描述一个种群的前期增长情况,用对数函数描述后期增长的情况.2.碳14测年法利用宇宙射线产生的放射性同位素碳14测定含碳物质的年龄的方法,就叫碳14测年法.已故著名考古学家夏鼐先生对碳14测定考古年代的作用,给了极高的评价:“由于碳14测定年代法的采用,使不同地区的各种新石器文化有了时间关系的框架,使中国的新石器考古学因为有了确切的年代序列而进入了一个新时期.”那么,碳14测年法是如何测定古代遗存物的年龄呢?原来,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,后为动物纳入,只要植物或动物生存着,它们就会持续不断地吸收碳14,在机体内保持一定的水平,而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并逐渐消失,对于任何含碳物质,只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代.碳14测年法分为常规碳14测年法和加速器质谱碳14测年法两种.两者相比,后者具有明显的优点:一是样品用量少,只需1~5毫克样品就可以了,如一小片织物、骨屑、古陶瓷器表面或气孔中的微量碳粉都可测量(常规碳14测年法却需1~5克样品);二是灵敏度高,其测量同位素比值的灵敏度可达10~15至10~16(常规碳14测年法则与之相差5~7个数量级);三是测量时间短,测量现代碳若要达到1%的精度,只需10~20分钟(常规碳14测年法却需12~20小时).可以说,对测定50000年以内的文物样品,加速器质谱碳14测年法是测定精度最高的一种.
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