新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 导学案

3．2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型【课标要求】1．掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义．2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．【核心扫描】1．利用函数模型解决实际问题．(重点)2．三种函数模型性质的比较．3．在实际应用中选择哪种函数模型．(难点、易混点)新知导学1．三种函数模型的性质  函数性质 y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.温馨提示：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．互动探究探究点1函数y＝x2与y＝2x在(4，＋∞)上哪一个增长得更快些？提示 y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．探究点2在区间(0，＋∞)上，当a＞1，n＞0时，是否总有logax＜xn＜ax成立？提示 不是，但总存在x0，使得当a＞1，n＞0，x＞x0时，logax＜xn＜ax成立．探究点3当实际问题提供的两个变量的数量关系有怎样的增长规律时，我们选择一次函数模型，对数函数模型，指数函数模型？提示 均匀增长，增量恒定时，一般选择一次函数模型，缓慢增长，增量逐渐变小时，一般选择对数函数模型；急剧增长，增量快速增大时，选择指数函数模型.类型一 直线型与指数型函数的应用 【例1】甲、乙两城市现有人口总数为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；(3)对两城市人口增长情况作出分析．参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.[思路探索] 分别根据增长率和增长量，建立函数模型，进行数据运算，作出分析判断．解 (1)1年后甲城市人口总数为：y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)3；……x年后甲城市人口总数y甲＝100×(1＋1.2%)x，乙城市人口总数y乙＝100＋1.3x.(2)10年、20年、30年后甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如下表：10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139(3)甲、乙两城市人口都是逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．[规律方法] 1.本题涉及到平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．2．在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．【活学活用1】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．解 (1)当t∈[0,1]时，函数的解析式为y＝kt.将M(1,4)代入得k＝4，∴y＝4t.当t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y＝t－a.将(3,1)代入得a＝3，∴y＝t－3. 综上有y＝f(t)＝(2)由f(t)≥0.25，解得≤t≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝4(小时)．类型二 对数型的函数增长模型【例2】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以用函数v＝5log2表示，其中单位是m/s，Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[思路探索] 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可．解 (1)当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得0＝5log2，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.[规律方法] 解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式求解．【活学活用2】溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.解 (1)根据对数的运算性质，有pH＝－lg[H＋]＝lg[H＋]－1.在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，[H＋]－1减小，从而lg[H＋]－1减小，即pH减小．所以，随着[H＋]的增大，pH减小．(2)当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg[H＋]＝－lg10－7＝7，所以纯净水的pH是7，酸碱度为中性．类型三 几种函数模型的比较【例3】某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？ [思路探索] 把点(1,8)，(2,18)，(3,30)代入两个模型求相应曲线→验证x＝4时，y值与43的误差→得出结论．解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，将点坐标代入，可得解得a＝，b＝，c＝－42.则g(x)＝·x－42，故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．[规律方法] (1)此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．(2)理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．【活学活用3】函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图．(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长．方法技巧 运用图象特征确定增长型函数模型几种常见的增长型函数增长变化趋势不同，呈直线上升，指数爆炸，“蜗牛式”增长，反映在图象上，通常是观察图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．【示例】函数 f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(8)，g(8)，f(2012)，g(2012)的大小．[思路分析] (1)随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.(2)利用零点存在性定理找出交点所在的区间，然后结合图象比较大小．解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，曲线C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，f(9)＝512，g(9)＝729，f(10)＝1024，g(10)＝1000.∴f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．因此1＜x1＜2,9＜x2＜10，从而x1＜8＜x2＜2012.由图象知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，则f(8)＜g(8)，当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，故f(2012)＞g(2012)＞g(8)＞f(8)．[题后反思]1.(1)要熟记基本函数图象的特点，并把握好指数函数、对数函数、幂函数图象的增长特点．(2)结合图象分析图中曲线的特点与区别，联想对应的函数解析式．2．解答题目要步骤完整，需要下总结性结论的，最后一定要点明，以规范步骤.课堂达标1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(  )．A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝x2D．y＝2x解析 指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，增长速度最快．答案 D2．(2013·济南高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(  )．解析 设该林区的森林原有蓄积量为a， 由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．答案 D3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x051015202530y151305051130200531304505y2594.4781785.2337336.73×1051.2×1072.28×108y35305580105130155y452.31071.42951.14071.04611.01511.005关于x呈指数型函数变化的变量是________．解析 指数型函数的增长呈“爆炸式”增长，由表中数据，呈指数型变化的变量为y2.答案 y24．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v＝2000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.解析 由题意2000ln＝12000.∴ln＝6，从而＝e6－1.答案 e6－15．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？解 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a＜0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．课堂小结三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.