高中数学人教A版必修1 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 同步测试题

《3.2.1几类不同增长的函数模型》同步测试题一、选择题1.如图，正方形边长为10，且四个小正方形的对称中心在正方形的顶点上，小正方形的各边与各边平行或垂直，若小正方形边长为，阴影部分面积为，则能反映与的函数关系的图象大致是(  ).考查目的：考查二次函数的图象及建模能力.答案：D.解析：由题意知，阴影部分的面积和恰好等于一个小正方形的面积，∴函数的解析式为，∴符合题意的图象为D. 2.今有一组实验数据如下：1.993.04.05.16.121.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是(  ).A.     B.     C.     D.考查目的：考查几类函数的增长速度及函数的拟合.答案：C.解析：画出数据的散点图易知，答案应选C. 3.下列函数中，随的增大而增长速度最快的是(  ).A.      B.     C.       D.考查目的：考查指数函数、对数函数、幂函数等几类不同函数的增长速度.答案：A.解析：∵在(0，＋∞)上，总存在一个，使得当时，有，∴排除B、C.又∵，∴的增长速度大于的增长速度，故选择A. 二、填空题4.三个变量，，随变量的变化情况如下表：1.003.005.007.009.0011.005135625171536456655529245218919685177149 5.006.106.616.957.207.40其中呈对数函数型变化的变量是        ，呈指数函数型变化的变量是        ，呈幂函数型变化的变量是         .考查目的：考查指数函数、对数函数、幂函数等几类不同函数的增长速度.答案：，，.解析:由表格及指数函数、对数函数、幂函数三种函数增长速度不同的特点可知，答案分别为，，. 5.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是       .考查目的：考查二次函数的建模和实际应用能力.答案：600.解析：设直角边长分别为时，对应的矩形边长分别为，则，解得，∴矩形的面积，∴当时，矩形的面积最大，最大面积(). 6.计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是    元.考查目的：考查指数的运算和指数函数的实际应用能力.答案：300.解析：设计算机的价格平均每年下降的百分数为，由题意得，解得，故9年后的价格大约为(元). 三、解答题7.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验.经检验，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表．天数病毒细胞个数11223448516632已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候，小白鼠将会死亡.如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.⑴为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？⑵第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(答案精确到天，已知：lg2=0.3010)考查目的：考查函数建模及运用指数函数、对数函数解决实际问题的能力.答案：⑴27；⑵33.解析：⑴由题意知，病毒细胞个数关于天数的函数关系式为，则，两边取常用对数得，得，即第一次最迟应在第27天注射该种药物. ⑵由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为，再经过天后小白鼠体内病毒细胞个数为.由题意得，，两边取常用对数得，，解得，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物. 8.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度(km/h)与时间(h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(，0)作横轴的垂线，梯形OABC在直线左侧部分的面积即为(h)内沙尘暴所经过的路程(km).⑴当时，求的值；⑵将随变化的规律用数学关系式表示出来；⑶若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．考查目的：考查分段函数和一次函数、二次函数的应用，以及函数建模能力和运算能力等.答案：⑴24；⑵；⑶沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.解析：⑴由图象可知：当时，，∴.⑵当时，；当时，；当时，.综上可知，.⑶∵当时，；当时，，∴当时，令，解得，.∵，∴，即沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.