新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 练习题

3．2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型基础达标1．设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是(  )．A．f(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢B．g(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢C．g(x)增长速度最快，f(x)增长速度最慢D．f(x)增长速度最快，g(x)增长速度最慢解析 由三个函数的性质，可知：g(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢．答案 B2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(  )．A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析 由散点图可知，与指数函数拟合的最贴切．答案 A3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(  ) 答案 C4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．解析 由得∴y＝－2×0.5x＋2，所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．答案 1.75万件5．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．答案 ②④6．计算机的成本不断下降，若每隔5年计算机的价格降低现价格的，现在价格5400元的计算机经过15年的价格为________元．解析 5年后的价格为5400元，10年后的价格为54002元，15年后的价格为54003元．答案 540037．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.(1)求出V关于Q的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．解 (1)设V＝k·log3，∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2700，所以，一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．能力提升8．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的(  )．解析 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B图象相吻合．答案 B9．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为：y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只．解析 把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得：a＝100，故函数关系式为y＝100log2(x＋1)，∴当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.所以到第7年这种动物发展到300只．答案 30010．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L? 解 由题意，得ae－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝.①设再过tmin后桶1中的水有，则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝.②将①式平方得e－10n＝，③比较②，③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.即再过5min后桶1中的水只有L．