3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型问题导学一、一次函数、二次函数或幂函数模型活动与探究1有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p＝x，q＝.现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？迁移与应用1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝x5＋10 B．y＝100x3C．y＝ln(x＋1)D．y＝0.5ex－22．某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；(2)按总价的92%付款．现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买铅笔x支，支付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？(1)用函数模型解实际问题较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．(2)对于给出图象的关于一次函数或二次函数或幂函数的应用题，可以先利用函数的图象用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后再翻译成具体问题作出解答．二、指数函数模型活动与探究2有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)?迁移与应用1．已知大气压p(百帕)与海拔高度h(米)的关系式为p＝1000·，则海拔6000米处的大气压为______．2．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝______，经过5个小时，1个病毒能繁殖为______个．在实际问题中，指数函数模型如增长率问题、复利计算问题等较为常见，通过归纳法确定函数关系是解决此类问题常用的方法．三、对数函数模型活动与探究3已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2(其中k≠0)．当燃料重量为(－1)m吨(e为自然对数的底数，e≈2.72)时，该火箭的最大速度为4km/s.(1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y＝f(x)；(2)已知该火箭的起飞重量是544吨，则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？迁移与应用
1．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．2．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．当堂检测1．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是( )A．310元B．300元C．290元D．280元2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )A．300只B．400只C．500只D．600只3．1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2012年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )A．y＝54.8(1＋x%)20B．y＝54.8(1＋x%)21C．y＝54.8(x%)20D．y＝54.8(x%)214．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.0025v2－0.4v＋24.5，则车速为__________km/h时，汽车的耗油量最少．5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次，由一个分裂成两个，这种细菌由一个分裂成4096个需要经过的时间为______．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学【预习导引】1．上升 上升 上升
2．(1)增函数 增长速度 (2)越来越快 越来越慢 (3)logax＜xn＜ax预习交流 提示：在区间(0，＋∞)上，有x2＞log2x.又当x＞4时，总有2x＞x2，∴x0的最小值为4.课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先设投入两种商品的资金额，列出所获得的总利润，通过求函数最值解答问题．解：设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9－x万元．设利润为y万元，x∈[0,9]．∴y＝(9－x)＋＝(－x＋4＋9)＝[－(－2)2＋13]，∴当＝2，即x＝4时，ymax＝1.3.所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元．迁移与应用 1．D2．解：由优惠办法(1)得到的函数关系式为y＝0.5x＋6(x≥4且x∈N)，由优惠办法(2)得到的函数关系式为y＝0.46x＋7.36(x≥4且x∈N)．由0.5x＋6＜0.46x＋7.36，得x＜34.所以，当购买铅笔数少于34支(不少于4支)时，优惠办法(1)合算；当购买铅笔数多于34支时，优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34支时，两种优惠办法一样．活动与探究2 解：已知本金为a元：1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；……x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.将a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255.由计算器算得y≈1117.68(元)．所以复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和约为1117.68元．迁移与应用 1．4.9百帕2．2ln2 1024 解析：t＝时，y＝2，∴2＝，即ek＝4，∴k＝ln4＝2ln2，y＝4t.∴当t＝5时，y＝45＝1024.活动与探究3 思路分析：根据所给条件求出k即得函数式；把m＋x＝544与y＝8代入函数式解方程即得x.解：(1)依题意把x＝(－1)m，y＝4代入函数关系式y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2，解得k＝8，所以所求的函数关系式为y＝8[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2，整理得y＝ln8.(2)设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，m＝544－x，y＝8，代入函数关系式y＝ln8得ln＝1，解得x≈344.即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．迁移与应用 1．6 10000 解析：由lg1000－lg
0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的10000倍．2．解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入所给的公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入所给的公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.【当堂检测】1．B 解析：由射线经过点(1,800)，(2,1300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，∴当x＝0时，y＝300.2．A 解析：由题意得，x＝1时，y＝100，即100＝alog2(1＋1)，∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)．∴当x＝7时，y＝300.3．A 解析：1993年底，人口数为54.8(1＋x%)；1994年底，人口数为54.8(1＋x%)2；1995年底，人口数为54.8(1＋x%)3；……∴到2012年底，人口数为54.8(1＋x%)20.4．80 解析：Q＝0.0025v2－0.4v＋24.5＝0.0025(v－80)2＋8.5，所以当v＝80km/h时，Qmin＝8.5(L)．5．3小时 解析：设经过x个15分钟，该种细菌由一个分裂为4096个，则2x＝4096，x＝12.所以共需＝3(小时)．
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