2018版高中数学人教A版必修1 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 导学案
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2018版高中数学人教A版必修1 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 导学案

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资料简介
3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.(难点) [基础·初探]教材整理 几类不同增长的函数模型阅读教材P98~P101,完成下列问题.1.三种函数模型的性质  函数性质  y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐与y轴平行随x的增大逐渐与x轴平行随n值的不同而不同2.三种函数增长速度的比较(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长进度不同,且不在同一个“档次”上.(2)随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.(3)存在一个x0,当x>x0时,有ax>xn>logax.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.(  )(2)函数y=logx衰减的速度越来越慢.(  )(3)不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.(  )【解析】 (1)√.因为一次函数的图象是直线,所以当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值.(2)√.由函数y=logx的图象可知其衰减的速度越来越慢. (3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[小组合作型]函数模型的增长差异 (1)下列函数中,增长速度最快的是(  )             A.y=2016xB.y=x2016C.y=log2016xD.y=2016x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________.【精彩点拨】 指数函数增长速度最快.【自主解答】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快,故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.故填y2.【答案】 (1)A (2)y2 1.指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,形象地称为“指数爆炸”.2.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢.3.幂函数模型y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.[再练一题]1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(  )【导学号:97030138】A.y=exB.y=100lnxC.y=x100D.y=100·2x【解析】 指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快,应选A.【答案】 A根据函数图象确定函数模型 图321函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图321所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2016),g(2016)的大小.【精彩点拨】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断. 【自主解答】 (1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10,∴x1<6<x2,2016>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),∴f(6)<g(6);当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2016)>g(2016).又g(2016)>g(6),∴f(2016)>g(2016)>g(6)>f(6).根据函数图象判断增长函数模型时,通常是根据函数图象上升的快慢来判断,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,中间的是幂函数.[再练一题]2.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图322所示.(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).图322【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当xf(x);当x1x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).[探究共研型] 函数模型的选择探究1 在我们学习过的函数中,哪些函数是其定义域上的单调函数?【提示】 一次函数、指数函数、对数函数.探究2 在选择函数模型时,若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化,应选择哪个函数模型?若变化的速度很平缓,应选择哪个函数模型?【提示】 前者应选择指数函数模型,后者选择对数函数模型. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2L,人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?【精彩点拨】 (1)理解题意,根据所给函数模型的增长趋势来选择;(2)根据(1)中所选择的函数模型,求出其解析式并求最大值.【自主解答】 (1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销量为2升;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销量为5升,把x=1,y=2;x=4,y=5代入到y=ax2+bx,得解得a=-,b=,所以函数解析式为y=-x2+x.(x∈[0.5,8])∵y=-x2+x=-2+,∴当x=时,年人均A 饮料的销售量最多是L.不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.3.对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.4.幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.[再练一题]3.某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?【解】 根据题意可列方程组:解得所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②再将x=4分别代入①与②式得: f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),g(4)=-80×0.54+140=135(t).与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型(  )            x45678910y15171921232527A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】 自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故选A.【答案】 A2.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是(  )A.y=1B.y=xC.y=3xD.y=log3x【解析】 结合函数y=1,y=x,y=3x及y=log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y=3x.【答案】 C3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系,可选用(  )A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数【解析】 结合“直线上升,对数增长,指数爆炸”可知,对数型函数符合题设条件,故选D.【答案】 D 4.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应________;B对应________;C对应________;D对应________.【导学号:02962023】【解析】 A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.【答案】 (4) (1) (3) (2)5.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x的图象如图323所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).图323【解】 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当xh(x)>g(x);当1h(x);当eh(x); 当af(x);当bf(x);当cg(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x). 亲爱的同学:经过一番刻苦学习,大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧!成绩肯定会很理想的,在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来,学以致用!在考试的过程中也要养成仔细阅读,认真审题,努力思考,以最好的状态考出好成绩!你有没有做到这些呢?是不是又忘了检查了?快去再检查一下刚完成的试卷吧!

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