新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 课件

第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型 复习引入 讲授新课例1假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？ 解：设第x天所得回报是y元， 解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述； 解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述； 解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进行描述. 方案一方案二方案三y/元增加量y/元y/元增加量y/元y/元增加量y/元140010100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4 20406080100120246810Oyx函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点. 20406080100120246810Oyxy＝40函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点. 20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点. 20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点. 20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点.我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？ 20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x根据以上的分析，是否应作这样的选择:投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？y＝0.4×2x－1 例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金总数不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可. 分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果. 812345672004006008001000Oyx图象 812345672004006008001000Oyxy＝5图象 812345672004006008001000y＝0.25xOyxy＝5图象 812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1Oyxy＝5图象 812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5图象 解：借助计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断.812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.解： 再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有成立.解： 令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1000]时，再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有成立.解：模型y＝log7x＋1奖励时,奖金不会超过利润的25%..说明按 令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1000]时，再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有成立.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求.解：模型y＝log7x＋1奖励时,奖金不会超过利润的25%..说明按 归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1)理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2)简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.(3)数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1)理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2)简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.(3)数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1)理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2)简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.(3)数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤 (4)求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.(5)检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.(6)评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤 (4)求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.(5)检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.(6)评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤 (4)求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.(5)检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.(6)评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤 理解问题(2)简化假设(3)数学建模(4)求解模型(5)检验模型(6)评价与应用归纳总结中学数学建模的主要步骤 知识讲授观察函数与的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.在[0,＋∞)上 观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.在[0,＋∞)上知识讲授 观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.在[0,＋∞)上知识讲授 观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.在[0,＋∞)上知识讲授 观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.在[0,＋∞)上知识讲授 比较函数的增长快慢. 比较函数的增长快慢.8642-22468xyO 比较函数的增长快慢.8642-22468xyO 比较函数的增长快慢.8642-22468xyO 比较函数的增长快慢.8642-22468xyO 比较函数的增长快慢.8642-22468xyO你能分别求出使成立的x的取值范围吗？ 30282624222018161412108642510xyO放大后的图象 ①一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0,＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.规律总结 ②对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0,＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.规律总结 ③在区间(0,＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y=xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.规律总结 例3同一坐标系中，函数y＝x2＋7和y＝2x的图象如图.试比较x2＋7与2x的大小.5040302010510y＝x2＋7y＝2xxyO 例4已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小.4321-124xyOy＝x2y＝log2(x＋1) 1.下列说法不正确的是(C)A.函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数B.函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数C.存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立D.存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立练习 1.下列说法不正确的是(C)A.函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数B.函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数C.存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立D.存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立练习 2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，下列说法正确的是(B)A.函数y＝xn比y＝ax的增长速度快B.函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢C.因a,n没有大小确定,故无法比较函数y＝xn与y＝ax的增长速度D.以上都不正确练习 2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，下列说法正确的是(B)A.函数y＝xn比y＝ax的增长速度快B.函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢C.因a,n没有大小确定,故无法比较函数y＝xn与y＝ax的增长速度D.以上都不正确练习 3.函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是(B)A.y＝logax(a＞1)B.y＝bx(b＞1)C.y＝xc(c＞0)D.无法确定练习 3.函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是(B)A.y＝logax(a＞1)B.y＝bx(b＞1)C.y＝xc(c＞0)D.无法确定练习 4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数函数y＝lnx的图象.如图，则A表示函数的图象，B表示函数.的图象，C表示函数的图象.5432124xyOABC练习 y＝2x5432124xyOABC练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数函数y＝lnx的图象.如图，则A表示函数的图象，B表示函数.的图象，C表示函数的图象. 5432124xyOABC练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数函数y＝lnx的图象.如图，则A表示函数的图象，B表示函数.的图象，C表示函数的图象.y＝2xy＝x1.4 y＝2xy＝x1.45432124xyOABCy＝lnx练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数函数y＝lnx的图象.如图，则A表示函数的图象，B表示函数.的图象，C表示函数的图象. 课堂小结1.幂函数、指数函数、对数函数增长快慢的差异； 课堂小结1.幂函数、指数函数、对数函数增长快慢的差异；2.直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.