新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 课件

3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型 [目标导航]课标要求1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性.2.引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型,通过建立数学模型解决实际问题.素养达成通过掌握常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异及增长状况培养数学抽象、直观想象的核心素养. 新知导学·素养养成1.三种函数模型的性质函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐.随x增大逐渐.随x增大逐渐.上升上升上升2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是,但不同,且不在同一个“档次”上.增函数增长速度 (2)随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度.(3)存在一个x0,当x>x0时,有.越来越慢logax1时,对数函数y=logax是增函数,且当a减小时,其函数值的增长就越快;(3)当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大其函数值的增长就越快. 课堂探究·素养提升题型一 图象信息迁移问题[例1]如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息: 解析:看时间轴易知(1)正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此(2)正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故(3)正确,(4)错误.答案:(1)(2)(3)(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;(2)骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;(3)骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;(4)骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是. 方法技巧解答图象信息迁移问题的技巧(1)明确横轴、纵轴的意义;(2)从图象形状上判定函数模型;(3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点、最低点及折线的拐点等. 即时训练1-1:某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变,则可以用来描述该厂前t年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的是()解析:注意以下几种情形:图①表示不再增长,图②表示增速恒定不变,图③表示增长速度越来越快,图④表示增长速度逐渐变慢.故选A. 题型二 常见函数模型增长趋势的比较[例2]函数f(x)=2x和g(x)=x3(x≥0)的图象,如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1),f(2)y1解析:法一在同一平面直角坐标系中画出函数y3=log2x,y2=x2和y1=2x的图象,如图,在区间(2,4)内从上往下依次是y2=x2,y1=2x,y3=log2x的图象,所以对于任意x∈(2,4),x2>2x>log2x,即y2>y1>y3.故选B.法二可以采用特殊值代入,如取x=3,则y1=8,y2=9,y3=log23y1>y3.故选B. [备用例1]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:①当x>0时,甲在最前面;②当x>1时,乙在最前面;③当00)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.月份123产量(千件)505253.9 (2)某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系是()(A)y=100x(B)y=50x2-50x+100(C)y=50×2x(D)y=100log2x+100解析:(2)由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时,误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大.综上,只有C中的函数误差最小,故选C. 题型四 建立函数模型解决实际问题[例4]一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰好为51元? (2)设一次订购量为x个时零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x)的关系式. (3)当销售商一次订购量分别为500,1000个时,该工厂的利润分别为多少?(一个零件的利润=一个零件的实际出厂价-一个零件的成本) 方法技巧数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设,从中区分出主要条件及次要条件,再根据要求选取合适的数学知识来求解. 学霸经验分享区(1)不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:①线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;②指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;③对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;④幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.(2)若已知条件中给出一组数据选择数学模型时,可以在直角坐标系中将该组数据对应的点描出,根据点的分布特征选择数学模型. (3)一般来说,函数模型的增长速度与图象关系如下表:增长速度越来越快不变越来越慢图象 1.下列函数中,增长速度最快的是()(A)y=20x(B)y=x20(C)y=log20x(D)y=20x课堂达标A 2.对于两个变量x,y有如下几组数据:C解析:由于0.9接近20,4.1接近22,故该组数据满足y=2x.x01234y0.924.17.916.2则x,y间拟合效果最好的曲线方程是()(A)y=log2x(B)y=2x(C)y=2x(D)y=x2 3.某水果批发市场规定,批发某种水果不少于100kg时,批发价为每千克2.5元,小王携现金3000元到市场采购该种水果,并以批发价格买进,如果购买该种水果为xkg,小王付款后剩余现金为y元,则y与x之间的函数关系式为.答案:y=3000-2.5x,x∈[100,1200]