新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 练习题

3.2.1几类不同增长的函数模型A级 基础巩固一、选择题1．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(  )A．y＝ax＋b   B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(  )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析：由题图可知，甲到达终点用时短．答案：D3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(  )x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01A.y＝2x－2B．y＝(x2－1) C．y＝log2xD．y＝解析：经验证可知选项B正确．答案：B4．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，则放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－t，已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(  )A．125B．100C．75D．50解析：由已知得a＝a·e－50，即e－50＝＝.所以a＝·a＝(e－50)·a＝e－75·a，所以t＝75.答案：C5．某学校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(  )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相等D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．答案：A二、填空题6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________________．解析：设新价为b，则售价为b(1－20%)．因为原价为a，所以进价为a(1－25%)．依题 意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%.化简得b＝a，所以y＝b×20%·x＝a×20%·x，即y＝x(x∈N*)．答案：y＝x(x∈N*)7．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量x(kg)与运费y(元)由下图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为________．解析：设y＝kx＋b(k≠0)，将点(30，330)、(40，630)代入得y＝30x－570，令y＝0，得x＝19，故乘客可免费携带行李的最大质量为19kg.答案：19kg8．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg5≈0.699，lg3≈0.477)．解析：当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg5－2lg3)≈36.72.答案：36.72三、解答题9.如图所示，已知边长为8m的正方形钢板上一个角被锈蚀，其中AE＝4m，CD＝6m．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝xm，PN＝ym，将y表示成关于x的函数，并求其定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝(8－y)m，EQ＝(x－4)m.又△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝. 所以y＝－x＋10，易知定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S(x)m2，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，4≤x≤8.当x∈[4，8]时，S(x)单调递增．所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48m2.10．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．解：(1)由v＝log3可知，当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．B级 能力提升1．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为(  )A．y＝·xB．y＝·xC．y＝·xD．y＝·x解析：据题意有＝c%，所以＝c，即ax＋by＝cx＋cy，所以(b－c)y＝(c－a)x，所以y＝·x.答案：B2．某药厂研制出一种新型药剂，投入市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3 万元，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.故预计今年药品利润为125万元．答案：1253．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0