3.2.1几类不同增长的函数模型[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝1B．y＝xC．y＝2xD．y＝log3x解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝2x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.答案：A3．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是( )A．aB．bC．cD．d解析：根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )
解析：函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9.答案：y＝0.9·m8．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变，其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0b.答案：c>a>b13．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂为2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)解析：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数；1h后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；2h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；3h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；4h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100.可见，细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系为y＝100×x，x∈N*.由100×x>1010，得x>108，两边同时取以10为底的对数，
得xlg>8，∴x>.∵＝≈45.45，∴x>45.45.故经过46h，细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y＝(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，即有－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.
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