新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 导学案

3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一 常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．知识点二 指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(  )(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logaxa>b13．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂为2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301) 解析：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数；1h后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；2h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；3h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；4h后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100.可见，细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系为y＝100×x，x∈N*.由100×x>1010，得x>108，两边同时取以10为底的对数，得xlg>8，∴x>.∵＝≈45.45，∴x>45.45.故经过46h，细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y＝ (2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，即有－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.