3[1].2.1几类不同增长的函数模型(第一、第二课时)

几类不同增长的函数模型 引例：一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算当n=20时它们的厚度解：纸对折n次的厚度：f(n)=（cm），n块砖的厚度：g(n)=10n(cm)f（20）≈105m,g(20)=2m 问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示成x的函数问题②正方形的边长为x，面积为y，把y表示成x的函数问题③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示成x的函数（1）分别用表格，图象表示上诉函数(2)指出它们属于哪种函数类型（3）讨论它们的单调性（4）比较它们的增长差异 ①Y=x;②③X123456Y=x1234561491625361.051.101.161.221.281.34 它们分别属于：y=kx+b（直线型）从表格和图像来看它们都是增函数在不同区间增长速度不同，随着x的增大，的增长速度越来越快另外还有与对数函数有关的函数模型，形如叫做对数型函数 例题：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？ 思考投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 分析我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.4×2x-1(x∈N*) x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4 图112-1从每天的回报量来看：第1~4天，方案一最多：第5~8天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？ 累积回报表天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8结论投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。 某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍增长，如下表：时间（小时）0123细菌数（个）2004008001600问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？练习 解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有x小时0123y（个）2004008001600点ABCD200＝200×20，400＝200×21，800＝200×22，1600＝200×23．此实验开始后5小时，即x＝5时，细菌数为200×25＝6400（个）．从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y＝200·2x（x∈N）． 例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？ 解：借助计算机作出函数的图象观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。 它在区间[10,1000]上递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。，由函数图象，并利用计算器，可知在区间　　内有一个点　满足　　　　　　　，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当时，因此该模型也不符合要求；对于模型，它在区间[10,1000]上递增，当时，因此该模型不符合要求；首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万。对于模型　，对于模型， 令。利用计算机作出函数的图象由图象可知它是递减的，因此即所以当　时，。说明按模型　　　奖金不会超过利润的25%。再计算按模型　　　奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当　　　　　　时，是否有成立。综上所述，模型　　确实能很符合公司要求。 1、四个变量随变量变化的数据如下表：练习：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050关于x呈指数型函数变化的变量是。 练习：2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮被感染的电脑数量10 问题提出1.指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上的单调性如何？2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？ 探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异对于函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x>0.思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应表,这三个函数增长的快慢情况如何？…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2x x012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考2:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？ 思考3:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象.xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=log2x 思考4:根据图象，不等式log2x0时，在区间(0,+∞)上,ax与xn的大小关系应如何阐述？思考3:一般地，指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如何变化的？总存在一个，当x>时，就会有 思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞)上,logax是否恒大于xn?logax是否恒小于xn?思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化?xn增长速度的快慢程度如何变化？思考6:当x充分大时,logax(a>1)xn与(n>0)谁的增长速度相对较快？总存在一个，当x>时，就会有 思考7:一般地，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？xyo1y=logaxy=xn 思考8:对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，总存在一个x0，使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？思考9:指数函数y=ax(0