3.2.1几类不同增长的函数模型(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1【解析】 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.【答案】 B2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2xB．y＝(x2＋2x)C．y＝D．y＝0.2＋log16x【解析】 用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．【答案】 C3．高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图324所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是( )图324【解析】 当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选B.【答案】 B4．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
【解析】 分别画出y＝2x，y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x＜－1时，y＜0，故排除D，故选A.【答案】 A5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.【答案】 D二、填空题6．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________.
【解析】 当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．【答案】 y＝x27．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．【解析】 当v＝12000时，2000×ln＝12000，∴ln＝6，∴＝e6－1.【答案】 e6－18．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图325所示．现给出下列说法：图325①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(填序号)【解析】 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．【答案】 ②④三、解答题9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【解】 据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．10．有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲中心健身活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元，试求f(x)和g(x)；(2)问：选择哪家比较合算？为什么？【解】 (1)f(x)＝5x,15≤x≤40，g(x)＝(2)当5x＝90时，x＝18，即当15≤x＜18时，f(x)＜g(x)；当x＝18时，f(x)＝g(x)，当18＜x≤40时，f(x)＞g(x)．所以当15≤x＜18时，选甲比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当18＜x≤40时，选乙比较合算．[能力提升]1．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x【解析】 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.【答案】 D2．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快【解析】 观察函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的图象，由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．故选C.【答案】 C3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件.【解析】 ∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得∴y＝－2×(0.5)x＋2.当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．【答案】 1.754．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【解】 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
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