3.2函数模型及其应用【课题】：3.2.1几类不同增长的函数模型【设计与执教者】：广州市第三中学黄盛huangshenglaoshi@163.com【学情分析】：【教学目标】：（1）知识与技能：1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义.3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题.（2）过程与方法：1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型.2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势.（3）情感态度与价值观：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情.【教学重点】：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义.【教学难点】：怎样选择数学模型分析解决实际问题.【课前准备】：多媒体课件、投影仪、计数器.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图创设情景师：到目前为至，我们学习过的函数有哪些？生：指数函数、对数函数、幂函数等等.师：当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）当学生看到自己所学的知识与“现实世界”息息相关时，学习通常会更主动
互动交流，探求新知【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？问题1：如果你就是投资商，你会选择哪一个方案？问题2：若我只投资了二天，请同学们帮老师计算一下，两天内各方案的总回报收益分别是多少？问题3：请同学们仔细阅读题目，思考：在这里每种方案的回报收益主要与什么有关？师：我们知道，在这里每种方案的回报效益与投资的天数有着密切的关系，因此可以以天数作为自变量，建立三种投资方案所对应的回报效益的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供理论依据，那么如何建立函数模型呢？生：设第x天所得回报为x元，则：方案一可以用函数y=40（x∈N*）进行描述；方案二可以用函数y=10x（x∈N*）进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x－1（x∈N*）进行描述.问题4：哪位同学说说这三个函数分别是哪种类型的函数，它们的增减性又是怎样的?问题5：要对这三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，那么如何进行分析呢？（投影课本第107页表3—4，但表中数据由教师引导学生完成，让学生对数据的增长有一个感性认识）.如下表：x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.41040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4问题6：通过表格你能分析出这三种方案所得回报的增长情况吗？为什么会产生这种情况呢？创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．针对学生的回答去增设问题，因此，此环节的问题比较活，目的是使学生学会如何将实际问题转化为数学问题。
前面我们已经学习过函数的表示方法，有列表法、函数图象法、函数解析式法等，实际上，我们还可以借助计数器作出函数的图象，因为函数图象比较直观，能直接反映出函数的一些性质，我们可以通过这三个函数的图象从总体上把握不同函数模型的增长情况.（图象如课本P113图3.2－1）（利用图象从整体上把握不同函数模型的增长）问题7：这三个函数图象有什么共同点?（都是一群离散的点.）因为这里的自变量为天数，即x∈N*.函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线来连接这些离散的点.从每天所得回报看，在第1～4天，方案一最多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.根据这里的分析，是否能作出这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5～8天选择方案二，投资8天以上选择方案三呢？（难点）我们来分析影响方案选择的因素，除了考虑每天的收益，更要考虑一段时间内的总收益.接下来让学生自主进行交流活动，来获得累计收益并给出本题的完整解答，然后在全班进行交流.下面看累计的回报数，通过计数器列表如下：1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资8天以下（不含8天），应该选择方案一；投资8～10天应该选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应该选择方案三.从这个例子我们可以体会到不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.尤其是指数函数模型呈“指数爆炸”增长.通过设置的几个问题，形成问题串，逐步深入，引导发现。通过提问，把学生逐步引入问题情景中，最终使问题得以解决。同时，问题具有一定的梯度，对学生的思考有一定的引导和启发作用。同时培养学生分析整理数据并根据其中的信息做出推理判断的能力。课堂练习1练习1.四个变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表：x051015202530y151305051130200531304505y2594.4781758.2337336.37×1051.2×1072.28×108y35305580105130155y452.31071.42951.14071.04611.01511.005关于x呈指数型函数变化的变量是________.答案：y2通过练习进一步体会不同函数模型的增长差异及其实际应用．
实例运用，巩固提高【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？师：本例涉及了哪几类函数模型（一次函数、对数函数、指数函数的模型）?其实质是什么？这里实际上问的是哪个模型能符合公司的要求，即依据这个模型进行奖励时，应满足所给定的条件，这些条件有哪些？生：（1）奖金总数不超过5万元；（2）奖金不超过利润的25%.师：这样我们就必须知道这个公司的销售利润应是多少，根据实际问题的实际意义，要使得奖励方案生效，销售部门利润必须达到10万元.同时，该公司是为了实现1000万元利润的目标，而准备制定的一个激励的奖励方案.因此，部门销售利润一般不会超过公司总的利润.因此我们只需在区间［10，1000］上考虑即可.这里现有三个奖励模型可供选择，因此只需在区间［10，1000］内检验这三个函数模型是否满足公司提出的两个条件.我们先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.让学生借助计数器列出表格，再作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（如下图）.观察图象发现，在区间［10，1000］上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在直线y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求，但是这里只是直观判断，并且也只满足条件一，奖金总数不超过5万元.还要考虑奖金不超过利润的25%.下面通过计算确认上述判断.首先计算在区间［10，1000］内，哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型y=0.25x，它在区间［10，1000］上是递增的，当x∈（20，1000］时，y＞5，因此该模型不符合要求.对于模型y=1.002x，它在区间［10，1000］上也是递增的，结合图象，并利用计数器，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.002=5，当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求.对于模型y=log7x+1，它在区间［10，1000］上也是递增的，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.认识指数函数、对数函数、一次函数三个函数模型的增长差异。一次函数是直线上升，指数函数是“指数爆炸”增长，对数增长是一个比较平缓的增长。
（从这里可以看出对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律）再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈［10，1000］时，是否有=≤0.25成立.令f（x）=log7x+1－0.25x，x∈［10，1000］，利用计数器作出函数f（x）的图象（如课本P115图3.2－3），由图象可知它是递减的，因此f（x）≤f（10）≈－0.3176＜0，即log7x+1＜0.25x.所以当x∈［10，1000］时，＜0.25，由此说明，按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.师：从以上两个实例分析可知指数函数、对数函数、幂函数等几类不同增长的函数的增长差异.一次函数是直线上升，指数函数是“指数爆炸”增长，对数增长是一个比较平缓的增长，因此在实际问题中，可以通过递增的实际情况选择适当的函数模型.课堂练习2练习2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染其他没感染的20台计算机.现有10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？答案：160台.体会指数函数的“指数爆炸”增长。探究与发现我们知道，指数函数y=ax（a＞1），对数函数y=logax（a＞1），幂函数y=xn（n＞0）在区间（0，+∞）上都是增函数，那么这种差异的具体情况到底是怎样的呢？我们不妨先以函数y=2x，y=x2，y=log2x为例进行研究.（利用投影仪投影出表格一）x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y=2xy=x2y=log2x师：先请同学们利用计算器计算出以步长为0.4的自变量与函数值的对应表.表一x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y=2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y=x20.040.3611.963.244.846.76911.56…y=log－0.73700.4851.379…仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结。
2x－2.3220.8481.1381.5851.766据表在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（如下图），从图象可以看出：虽然他们都是增函数，但是他们的增长速度是不同的，显然指数函数的增长速度是急剧上升，而对数函数的增长速度非常平缓.师：根据图象计算不等式log2x＜2x＜x2与不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.师提示：可以利用二分法，通过求函数y=x2－2x的零点来得到分界点.下面我们在更大的范围内，观察y=2x和y=x2的增长情况.再请同学们利用计算器计算出以步长为2的自变量与函数值的对应表.在投影仪上投影出表二.表二x0246810121416…y=2x14166425610244961638465536…y=x204163664100144196256…据表在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如下图）从图中可以看到y=2x和y=x2的图象有两个交点，这表明了2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＞x2，有时2x＜x2.师：如果我们把步长进一步增大，假如以10为步长我们又可以得到什么样的结论呢？在投影仪上投影出表三.表三x01020304050607080…y=2x110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+181.18E+211.21E+24…y=x2010040090016002500360049006400…注意：在计数器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E+12.其中，字母“E”表示10这个“底数”之后的整数12，即为1012的指数.画出这两个函数的图象（如下图）
师：从图象中我们可以得到怎样的结论（教师引导学生回答）生：当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值增长的越来越快，x2的值比起2x来几乎是微不足道.师：通过对函数y=2x和y=x2的三种范围的函数图象的探索比较，我们可以得到怎样的一般性结论呢？一般地，对于指数函数y=ax（a＞1）和幂函数y=xn（n＞0），通过探索可以发现，在区间（0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.仿照对y=2x和y=x2的增长的差异性的比较，请同学们借助计数器，通过图象，对y=x2和y=log2x的增长情况进行比较.可以得出这样的结论：在区间（0，+∞）上，总有x2＞log2x.因此同样可以得出一般性的结论：一般地，对于对数函数y=logax（a＞1）和幂函数y=xn（n＞0），通过探索可以发现，在区间（0，+∞）上，随着x的增大，logax增长的越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＞xn.通过以上的比较，结合图表一，我们可以得出：在区间（0，+∞）上，总有x2＞log2x；并且当x＞4时，总有2x＞x2，所以当x＞4时，总有2x＞x2＞log2x.综上所述，在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax（a＞1），y=logax（a＞1），y=xn（N＞0）都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，y=ax（a＞1）的增长速度越来越快，会远远超过y=xn（n＞0）的增长速度，而y=logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax.课堂练习3在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况.（课本P119练习）（1）y=0.1ex－100，x∈［1，10］；（2）y=20lnx+100，x∈［1，10］；（3）y=20x，x∈［1，10］.答案：由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加.通过练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．
课堂小结本节课主要通过两个具体的例子说明不同函数模型有着不同的变化规律，让我们对“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”这几类不同增长类型的函数有了一个感性的认识.本节课我们主要利用“从具体到一般、数形结合的数学思想方法”，通过对几个特殊函数（y=2x，y=x2，y=log2x）的增长性的差异性的比较，得出指数函数y=ax（a＞1）、对数函数y=logax（a＞1）、幂函数y=xn（n＞0）在区间（0，+∞）上的增长的差异性.通过师生共同总结，优化学生的认知结构。布置作业1．课本第120页习题3.2A组第3、4题.2．已知0＜x＜20，利用图象说明与log2x的大小关系．巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维．练习与测试： 1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ） A．7200×（）3元B．7200×（）3元 C．7200×（）2元D．7200×（）2元 解析：此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义．设原价为1，一年后降价为，再过一年降价为×，……，三年后降价为××＝（）3，故选B． 答案：B 2．某工厂1996年生产电子元件2万件，计划从1997年起每年比上一年增产10尹％，则2000年可生产电子元件（精确到0.01万件）（ ） A．2.42万件 B．2.66万件 C．2.93万件D．3.22万件 解析：2000年可生产2（1＋10％）4≈2.93万件，∴选C． 答案：C
3．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快； （2）前三年中产量增长的速度越来越慢； （3）三年后，这种产品停止生产了； （4）第三年后，年产量保持不变． 其中说法正确的是____． 解析：从图形得知前三年的总产量增长趋势是先快后慢，所以（2）是正确的；三年后总产量不变，说明没有新的产量增加，所以（3）或（4）都是正确的． 答案：（2）（3）（4） 4．三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456633y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40 其中x呈对数型函数变化的变量是____，呈指数函数型变化的变量是____，呈幂函数型变化的变量是____． 答案：y3 y2 y1 5．已知函数f（x）的图象如右图，试写出一个可能的解析式____． 解析：根据图象的增长趋势，估计属于对数模型，再根据图象所过的已知点（10，3），写出y＝lgx＋2． 答案：y＝lgx＋2 6．在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，比较它们的增长情况： （1）f（x）＝2x－4，x∈［1，4］； （2）g（x）＝21nx－1，x∈［1，4］； （3）h（x）＝－10，x∈［1，4］． 答案：如图，在［1，2.5］内，h（x）＜f（x）
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