新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 导学案

3.2.1几类不同增长的函数模型学习过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；········xy02468101214012010080604020················y=40········y=10xy=0.4×2x-1方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：方案一：y＝40（x∈N＋）方案二：y＝10x（x∈N＋）方案三：y＝0.4×（x∈N＋）方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型增长，方案三也是增函数，呈指数型增长，增长速度比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。再看累计回报数表P114。投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销 售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝＋1，y＝1.002x。其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。探究函数y＝，y＝，y＝的增长速度。x0.20.611.41.82.22.633.4y=2x1.1491.5162.0002.6393.4824.5956.0638.00010.556y=x20.0400.3601.0001.9603.2404.8406.7609.00011.560y=log2x-2.322-0.7370.0000.4850.8481.1381.3791.5851.766在区间（2,4），有＜＜在区间（0,2）和（4，＋∞）有＜＜可以在更大范围内观察函数y＝，y＝的图象的增长情况。一般地，对于指数函数y＝（a＞1）和幂函数y＝（n＞0），通过探索可以发现，在区间（0，＋∞）上，无论n比a大多少，尽管x在一定范围内，会小于 但由于的增长速度快于，因此总存在一个，当x＞时，就会有＞。同样地，对于对数函数y＝（a＞1）和幂函数y＝（n＞0），在区间（0，＋∞）上，随着x的增大，增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管x在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于，因此总存在一个，当x＞时，就会有＜。综上所述，在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝（a＞1）、y＝（a＞1）和y＝（n＞0）都是增函数。但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，y＝（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝（n＞0）的增长速度，而y＝（a＞1）的增长速度越来越慢。因此总存在一个，当x＞时，＜＜。作业：P1273、4