新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 导学案

高考3．2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型内 容 标 准学 科 素 养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模授课提示：对应学生用书第62页[基础认识]知识点 几类不同增长的函数模型 在教材第三章的章首图中，我们看到一大群喝水、嬉戏的兔子，但正是这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带到澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚牧草茂盛，而且没有兔子的天敌，于是兔子数目急速增加，不到100年，数量达到75亿只，这75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草，草原的载畜量大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这使澳大利亚人头痛不已．直到20世纪50年代，科学家采用粘液瘤病毒杀死了90%的野兔，才使澳大利亚人松了一口 气．从数学上来看，这个问题可以用函数模型来体现野兔的增长情况．(1)对函数y1＝100x，y2＝log100x，y3＝x100，y4＝100x，当x越来越大时，增长速度最快的应该是哪一个函数？-7-/7 高考提示：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y4＝100x增长速度最快．(2)若x∈(0,1)，则2x，x，lgx的大小关系是什么？提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x，y＝x和y＝lgx的图象即可得出结论，即2x＞x＞lgx.知识梳理 指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logax0)．[自我检测]1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是__________．答案：y＝2x(x∈N*)2．如图所示的曲线反映的是__________函数模型的增长趋势．答案：幂函数或对数型授课提示：对应学生用书第63页-7-/7 高考探究一 函数模型的增长差异[例1] (1)下列函数中随x增大而增长速度最快的是(  )A．y＝2019lnxB．y＝x2019C．y＝D．y＝2019·2x(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(  )A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2[解析](1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2019·2x增长速度最快．(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.[答案](1)D (2)C方法技巧 1.指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．跟踪探究 1.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，-7-/7 高考B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)