高考3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标核心素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( )A．y减少1个单位 B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位-9-/9
高考C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝x2 D．y＝e－xA[结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确．]3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③[结合图象可知②③正确，故填②③.]几类函数模型的增长差异【例1】 (教材改编题)(1)下列函数中，增长速度最快的是( )A．y＝2019xB．y＝x2019C．y＝log2019xD．y＝2019x(2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A (2)C[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a-9-/9
高考值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型,线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型,指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型,对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.(4)幂函数模型,幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．y2[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4-9-/9
高考均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2019)，g(2019)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2，2019＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2019)＞g(2019)．又g(2019)＞g(6)，∴f(2019)＞g(2019)＞g(6)＞f(6)．由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”-9-/9
高考的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.2．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当xf(x)；当x1x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．需选择函数模型的实际问题[探究问题]1．一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢．2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．【例3】 (1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数-9-/9
高考(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份为x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？思路点拨：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解．(1)D[结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.](2)解：由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．①设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得所以有关系式y＝0.1x＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．②设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得解得所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．③设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得由①，得ab＝1－c，代入②③，得-9-/9
高考则解得则a＝＝－0.8.所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数型函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．不同函数模型的选取标准,不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.,因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.3．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5-9-/9
高考L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？[解](1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x.(x∈[0.5,8])∵y＝－x2＋x＝－＋，∴当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是L.1．核心要点：对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．2．数学思想：根据散点图判断或选择函数模型也是常用的方法，这体现了数形结合的思想．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax
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