新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 课件

人教版必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型 情景引入 1.四种函数模型的性质增增增增快慢新知导学 2.三种增长函数模型的比较(1)指数函数和幂函数．一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax____xn.(2)对数函数和幂函数．对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax____xn.快＞慢＜ (3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是____函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越____，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有______＜xn＜______.增快logaxax 预习自测 [答案]B[解析]设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，所以a－0.9216a＝0.0784a＝7.84%a，故变化的情况是减少了7.84%. [答案]D[解析]由题意可知y＝(1＋10.4%)x. [答案]C[解析](排除法)当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A项；故选C. [答案]D[解析]由几类不同增长的函数特性可知，y＝32x呈指数“爆炸式”增长，速度最快． [答案](1)3.6(2)6(3)y＝1.2t(t≥3) 命题方向一考查函数模型的增长差异题型讲解 [思路分析](1)从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案]y2[规律总结]解决本题的关键是如何确定变量间的关系是指数函数关系，不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值，还要看函数值的变化趋势． 跟踪练习 试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长速度快慢有什么不同？[解析](1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小． [规律总结]对于三种函数增长的几点说明：(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn. 命题方向二巧用图象比较大小 跟踪练习 命题方向三函数模型的选择 [思路分析]本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型． [规律总结]本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际． 跟踪练习 [点评]不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的科学的信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题． 当堂检测 [答案]C [答案]D[解析]代入检验，排除A、B、C，故选D. [答案]D[解析]本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解．四种函数模型中只有对数型函数具有初期利润增长迅速、后来增长越来越慢的特点，故选D.