新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 练习题

§3.2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型一、基础过关1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(  )A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(  )A．200双B．400双C．600双D．800双3．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(  )A．y＝50B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝ex4．今有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.407.51218.01现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据(  )A．v＝log2tB．v＝logtC．v＝D．v＝2t－25．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是______．6．5 一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．7．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．8．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝t＋(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．二、能力提升9．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如右图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(  )10．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．11．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．12．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，5 实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．三、探究与拓展13．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039)5 答案1．D 2．D 3．D 4．C 5．46．457．解 (1)b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝14(a－)2＋，∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.8．解 据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0≤t＜20与20≤t≤40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F(t)．①当0≤t＜20，t∈N时，F(t)＝(t＋11)(－t＋)＝－(t－)2＋(＋946)，故当t＝10或11时，F(t)max＝176.②当20≤t≤40，t∈N时，F(t)＝(－t＋41)(－t＋)＝(t－42)2－，故当t＝20时，F(t)max＝161.综合①、②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.9．B 10．甲11．80(1＋x)1012．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m，则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)m×1.1n(0＜n＜20，n∈N*)．(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0.解得n≤9.所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y10，令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，解得n≥8.所以y9＝y10＞y11＞…＞y19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．13．解 (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．5 (3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.012＝log1.0121.20≈16(年)．(4)由100×(1＋x%)20≤120，得(1＋x%)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x%)≤lg1.2＝0.079，所以lg(1＋x%)≤＝0.00395，所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%.5