新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 课件

2018_2019学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型课件新人教A版必修13.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型目标导航课标要求1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,,并体会其增长的快慢..2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较..素养达成通过本节内容的学习,,使学生体会常见函数的变化异同,,提高学生数学建模、数据分析的能力..新知探求课堂探究新知探求素养养成【情境导学】导入在同一坐标系内观察图象(1)y=2xx,y=3xx,y=4xx;;(2)y=log22x,y=log33x,y=log44x;(3)y=x22,y=x33,y=x44;;(4)y=2xx,y=log22x,y=x22..想一想指数函数,,对数函数底数大于11时增长快慢有什么规律??幂函数的幂指数大于00且不相同时增长快慢如何??((由图象可知,,指数函数在x0时,,底数越大增长得越快,,对数函数在x1时底数越大增长得越慢,,幂函数在x1时指数越大增长得越快))知识探究1.三种函数模型的性质上升函数性质y=axx(a1)y=logaax(a1)y=xnn(n0)在(0,+)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随xx增大逐渐..随xx增大逐渐..随xx增大逐渐..上升上升2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+)上,,函数y=axx(a1),y=logaax(a1)和y=xnn(n0)都是,,但不同,,且不在同一个档次上..增函数增长速度(2)随着xx的增大,y=axx(a1)增长速度越来越快,,会超过并远远大于y=xnn(n0)的增长速度,,而y=logaax(a1)的增长速度..(3)存在一个xx00,,当xx00时,,有..越来越慢logaaxxnnaxx【拓展延伸】三种函数模型的增长差异(1)指数型函数模型:y=kaaxx+b,当k0,a1或k0,0a1时,,在(0,+)上为增函数;;y=kaaxx+b,当k0,0a1或k0,a1时,,在(0,+)上为减函数..(2)对数型函数模型:y=klogaax+b,当k0,a1或k0,0a1时,,在(0,+)上为增函数;;y=klogaax+b,当k0,0a1或k0,a1时,,在(0,+)上为减函数..(3)幂型函数模型:y=kxnn+b,当k0,n0时,,在(0,+)上为增函数;;y=kxnn+b,当k0,n0时,,在(0,+)上为减函数..自我检测11.(单调性))下列函数在(0,+)上单调递增的是(())(A)y=（12）xx(B)y=12logxx(C)y=12x(D)y=x--22CC2.((增长速度比较))当xx越来越大时,,下列函数中,,增长速度最快的应该是(())(A)y=100x(B)y=log100xx(C)y=x100(D)y=100xxDD解析::几种函数模型中,,指数函数增长速度最快,,故选D.C33.(函数模型))对于两个变量x,y有如下一组数据,,xx0011223344yy0.9224.17.916.2则x,y间拟合效果最好的曲线方程是(())(A)y=log22x(B)y=2x(C)y=2x(D)y=x2244.(函数模型))若长方形的长xx是宽的22倍,,则该长方形的面积yy与xx之间的关系式为..答案::y=12xx22(x0)题型一图象信息迁移问题课堂探究素养提升【例11】如图所示,,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元))与通话时间t(分钟))之间的函数关系图象,,根据图象填空::解析::(1)由题中图象可知,,当0t3时,,电话费都是3.6元..(2)由题中图象可知,,当t=5时,y=6,需付电话费66元..(1)通话22分钟,,需付电话费元;;(2)通话55分钟,,需付电话费元;;(3)如果t3,则电话费y(元))与通话时间t(分钟))之间的函数关系式为..(3)当tt33时y,y关于tt的图象是一条直线,,且经过(3,3.6)和(5,6)两点,,故设函数关系式为y=kt+b,则33.6,56,kbkb+=ìí+=î解得1.2,0.kb=ìí=î故yy关于tt的函数关系式为y=1.2t(t3).答案::(1)3.6(2)6(3)y=1.2t(t3)方法技巧解答图象信息迁移题的方法(1)明确横轴,,纵轴的意义,, 如本题中横轴tt表示通话时间,,纵轴yy表示电话费;;(2)从图象形状上判定函数模型,,如本题中在区间[0,3]和[3,+)上均是直线型;;(3)抓住特殊点的实际意义,,特殊点一般包括最高点((最大值点))、最低点((最小值点))及折线的拐角点等;;(4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题..即时训练11--1:某工厂66年来生产某种产品的情况是::前三年年产量的增长速度越来越快,,后三年年产量的增长速度保持不变,,则可以用来描述该厂前tt年这种产品的年产量cc与时间tt的函数关系的是(())解析::注意以下几种情形::图①表示不再增长,,图②表示增速恒定不变,,图③表示增长速度越来越快,,图④表示增长速度逐渐变慢..故选A.【备用例11】一天,,亮亮发烧了,,早晨他烧得很厉害,,吃过药后感觉好多了,,中午时亮亮的体温基本正常,,但是下午他的体温又开始上升,,直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫..下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时))体温的变化情况的是(())解析::观察图象A,体温逐渐降低,,不合题意;;图象BB不能反映下午体温又开始上升;;图象DD不能体现下午体温又开始上升与直到半夜才感觉身上不那么发烫..故选C.题型二常见函数模型增长趋势的比较【例22】函数f(x)=2xx和g(x)=x33(x0)的图象,,如图所示..设两函数的图象交于点A(x11,y11),B(x22,y22),且xx11x22..解::(1)C11对应的函数为g(x)=x33(x0),C22对应的函数为f(x)=2xx..(1)请指出示意图中曲线CC11,C22分别对应哪一个函数;;(2)结合函数图象,,比较f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小..解::(2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1000,f(10)=1024,所以f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(9),f(10)g(10).所以1x112,9x2210.所以xx118x222015.从题中图象上知,,当xx11xx22时,f(x)g(x);当xx22时,f(x)g(x),且g(x)在(0,+)上是增函数,,所以f(2015)g(2015)g(8)f(8).方法技巧由指数函数、对数函数增长的规律识别图象,,即指数函数增长的速度越来越快,,在某一位置会远远超过幂函数的增长,,总存在xx00,,使xx00时,axxx..即时训练22--11::函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x--11的图象如图所示..(1)指出图中曲线CC11,C22分别对应哪一个函数;;(2)比较两函数的增长差异((以两图象交点为分界点,,对f(x),g(x)的大小进行比较).解::(1)C11对应的函数为g(x)=0.3x--1,CC22对应的函数为f(x)=lgx.(2)当x(0,x11))时,g(x)f(x),当x(x11,x22))时,g(x)f(x),当x(x22,+)时,g(x)f(x).题型三函数模型的选取【例33】某工厂今年11月、22月、33月生产某种产品分别为11万件、1.2万件、1.3万件,,为估测以后每个月的产量,,以这三个月的产量为依据,,用一个函数模拟该产品的月产量yy和月份xx的关系,,模拟函数可以选用二次函数y=ax22+bx+c或函数y=abbxx+c(其中a,b,c为常数,a0,b0且b1).已知44月份该产品的产量为1.37万件,,问用上述哪一种函数作为模拟函数好??请说明理由..解::①若模拟函数为y=ax22+bx+c(a0),由条件可得1,421.2,931.3,abcabcabc++=ìï++=íï++=î解得0.05,0.35,0.7.abc=-ìï=íï=î则函数为y=--0.05x22+0.35x+0.7,令4x=4得得y=1.3.②若模拟函数为y=abbxx+c(a00,b0且bb1),,由条件可得231,1.2,1.3,abcabcabc+=ìï+=íï+=î解得0.8,0.5,1.4.abc=-ìï=íï=î则函数y=--0.80.5xx+1.4.令4x=4得y=1.35.因为51.35比31.3更接近1.37,所以用y=abbxx+c,即y=--0.80.5xx4+1.4作为模拟函数好..方法技巧开放型的探究题,,函数模型不是确定的,,需要我们去探索,,去尝试,,找到最合适的模型,,解题过程一般为::(1)用待定系数法求出函数解析式;;(2)检验::将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,,得出最适合的函数模型;;(3)利用所求出的函数模型解决问题..即时训练33--11::某工厂生产一种电脑元件,,每月的生产数据如表::月份112233产量((千件))505253.9为估计以后每月对该电脑元件的产量,,以这三个月的产量为依据,,用函数y=ax+b或y=axx+b(a,b为常数,,且a0)来模拟这种电脑元件的月产量yy千件与月份x x的关系..请问::用以上哪个模拟函数较好??说明理由..解::将(1,50),(2,52)分别代入两解析式得50,522abab=+ìí=+î或250,52.abab=+ìïí=+ïî(a0)解得2,48ab=ìí=î((两方程组的解相同).所以两函数分别为8y=2x+48或y=2xx+48.当3x=3时,,对于8y=2x+48有y=54;当3x=3时,,对于y=2xx8+48有y=56.由于656与953.9的误差较大,,所以选by=ax+b较好..【备用例22】某地区植被被破坏,,土地沙化越来越严重,,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷、0.76万公顷,,则沙漠增加数y(万公顷))关于年数xx的函数关系较为近似的是(())(A)y=0.2x(B)y=210x(C)y=2210xx+(D)y=0.2+log16xx解析::将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)代入y=0.2x,当3x=3时,y=0.6,和60.76相差较大;;将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)代入y=210x,,当3x=3时,y=0.8,和60.76相差0.04;将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)代入y=2210xx+,,当xx取31,2,3所得的yy值都与已知值相差甚远;;将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)代入y=0.2+log16x,当3x=3时所得yy值与60.76相差较大..综合以上分析,,选用函数关系y=210x较为近似..故选B.题型四建立函数模型解决实际问题【例44】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,,游回产地产卵..记鲑鱼的游速为v(m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现vv与log3成正比,,且当Q=900时,v=1.(1)求出vv关于QQ的函数解析式;;解::(1)设v=klog33100Q,,因为当0Q=900时,v=1,所以1=klog33900100,,所以k=12,,所以vv关于QQ的函数解析式为v=12log33100Q..100Q解::(2)令v=1.5,则1.5=12log33100Q,,所以Q=2700,即一条鲑鱼的游速是s1.5m/s时耗氧量为02700个单位..(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数..方法技巧数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设,,从中区分出主要条件及次要条件,,再根据要求选取合适的数学知识来求解..即时训练44--1:为了发展电信事业,,方便用户,,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,,其中所使用的如意卡与便民卡在某市范围内每月(30天))的通话时间x(分))与通话费用y(元))的关系如图所示..解::(1)由题中图象可设yy11=k11x+29,y22=k22x,把点B(30,35),C(30,15)分别代入yy11,y22的解析式,,得kk11==15,k22==12..所以yy11==15x+29(x0),y22==12x(x0).(1)分别求出通话费用yy11,y22与通话时间xx之间的函数解析式;;(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜..解::((2)令yy11=y22,,即15x+29=12x,则x=9623..当x=9623时,y11=y22,,两种卡收费一致;;当x9623时,y11y22,,使用便民卡便宜;;当x9623时,y11y22,,使用如意卡便宜..题型五易错辨析增长趋势把握不准致误【例55】甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,,其路程ffii(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为ff11(x)=2xx--1,ff22(x)=x22,f33(x)=x,f44(x)=log22(x+1).有以下结论::①当x1时,,甲走在最前面;;②当x1时,,乙走在最前面;;③当0x1时,,丁走在最前面,,当x1时,,丁走在最后面;;④丙不可能走在最前面,,也不可能走在最后面;;⑤如果它们一直运动下去,,最终走在最前面的是甲..其中,,正确结论的序号为..错解::①③⑤纠错::没有深入研究,,单凭主观臆测无根据..正解::四个函数的图象如图所示,,根据图象易知,,③④⑤正确..答案::③④⑤