活页作业(二十五) 几类不同增长的函数模型(时间：30分钟 满分：60分)一、选择题(每小题4分，共12分)1．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.答案：D2．某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是( )A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减解析：设原来商品价格为1个单位，则1×(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.9216＝92.16%，∴减少了7.84%.答案：A3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共8分)4．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是______．解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，∴x＝－1.
答案：－15．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；(2)骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；(3)骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；(4)骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是______________．解析：看时间轴易知(1)正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此(2)正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故(3)正确，(4)错误．答案：(1)(2)(3)三、解答题6．(本小题满分10分)函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当xh(x)>g(x)；当1h(x)；
当eh(x)；当af(x)；当bf(x)；当cg(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．一、选择题(每小题5分，共10分)1．有一组实验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是( )A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.答案：C2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加越来越快；②前5min温度增加越来越慢；③5min后温度保持匀速增加；④5min后温度保持不变．其中说法正确的是( )A．①④ B．②④ C．②③ D．①③解析：前5min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，则当2＜x＜4时，y1，y2，y3的大小关系为________．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2和y＝2x的图象，如图，在区间(2,4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x，即y2＞y1＞y3.答案：y2＞y1＞y34．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为________________.(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______h后，学生才能回到教室．解析：(1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，∴设y＝kt，代入点(0.1,1)，得k＝10.∴y＝10t(0≤t≤0.1)．同理，将点(0.1,1)代入解析式y＝t－a，得a＝0.1，综上可知y＝(2)令y＝0.25，代入y＝t－0.1，解得t＝0.6，
∴从药物释放开始，至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．答案：(1)y＝(2)0.6三、解答题5．(本小题满分10分)商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：①买一个茶壶赠送一个茶杯；②按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)．若购买茶杯数为x(个)，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱．解：由优惠办法(1)可得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)；由优惠办法(2)可得函数关系式为y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．对以上两种优惠办法比较得：y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)．令y1－y2＝0，得x＝34.可知当购买34个茶杯时，两种付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱．
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