3．2.1 几类不同增长的函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：x12345678f(x)＝2x2481632641282562x＋1－2x248163264128256g(x)＝x21491625364964(x＋1)2－x2357911131517h(x)＝log2x011.585022.32192.58502.80743log2(x＋1)－log2x10.58500.41500.32190.26310.22240.19260.1699问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？提示：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大．问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝x2，最慢的是h(x)＝log2x.[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logax0)．[化解疑难]12
对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势 函数性质 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着x的增大逐渐加快增大随着x的增大逐渐减慢增大随n值的不同而不同考查函数模型的增长差异[例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案] y2[类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．12
(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[活学活用]今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A．v＝log2t B．v＝logtC．v＝D．v＝2t－2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较[例2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)0，b≠1)，将点坐标代入，可得解得a＝，b＝，c＝－42，则g(x)＝·x－42，12
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系．[类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． [典例] 下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )A．y＝ex B．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x[解析] 指数爆炸式形容指数函数．又∵e>2，12
∴ex比100·2x增大速度快．[答案] A[易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>，所以100·2x比ex增大速度快的错误结论．2．函数y＝a·bx＋c(b>0，且b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.[随堂即时演练]1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝2x－1D．y＝lnx解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C.2．三个变量y1，y2，y3，随着自变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y212
解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．解析：∵a>1，n>0，∴函数y1＝ax，y2＝xn，y3＝logax都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，ax>xn>logax.答案：ax>xn>logax4．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2比xlnx增长要快．答案：y＝x25．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：甲公司乙公司丙公司第1天510.1第2天520.2第3天530.4第4天540.8第5天551.6第6天563.2第7天576.4第8天5812.8第9天5925.6第10天51051.212
总计5055102.3由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司在10天内捐款最多．[课时达标检测]一、选择题1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析：选D 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.2．已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.3．有一组实验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是( )A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A．2x>x>lgxB．2x>lgx>x12
C．x>2x>lgxD．lgx>x>2x解析：选A 结合y＝2x，y＝x及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lgx.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.二、填空题6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中，关于x呈指数函数变化的函数是____________________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y17．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0d时，f(x)>h(x)>g(x)．10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y(单位：亿)．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．解：(1)1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：13＋13×1%＝13×(1＋1%)亿．经过2年，2001年底人口数：13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13×(1＋1%)2亿．经过3年，2002年底人口数：13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13×(1＋1%)3亿．…∵经过年数与(1＋1%)的指数相同，∴经过x年后人口数为13×(1＋1%)x亿．∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.(2)∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N*是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.∵1＋1%>1,13>0，∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．12
11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．解：设两个函数：y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，y2＝g(x)＝a·bx＋c.依题意，解得∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3(万件)．依题意，得解得∴y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g(4)＝1.35(万件)比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．∴选y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．12
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