新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 练习题

高一数学几类不同增长的函数模型训练题（有答案新人教A版必修1）高一数学几类不同增长的函数模型训练题（有答案新人教A版必修1）一、选择题1．下列函数中，增长速度最慢的是(  )A．＝6xB．＝lg6x．＝x6D．＝6x[答案] B2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(  )A．＝0(x∈Z)B．＝1000x．＝04•2x－1D．＝1100000•ex[答案] D[解析] 指数函数增长速度最快，且e>2，因而ex增长最快．3．(2013～2014长沙高一检测)如图，能使不等式lg2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是(  )A．x＞0B．x＞2．x＜2 D．0＜x＜2[答案] D4．以下四种说法中，正确的是(  )A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xn＞lgax．对任意的x＞0，ax＞lgaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞lgax[答案] D[解析] 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞lgax，但若去掉限制条“a＞1，n＞0”，则结论不成立．．三个变量1，2，3随着变量x的变化情况如下表：x1379111136217136466229242189196817714936106616987274则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(  )A．1，2，3B．2，1，3．3，2，1 D．1，3，2[答案] [解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越越慢，变量3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越越快，2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，1随x的变化符合此规律，故选6．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(  )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4x．f3(x)＝lg2xD．f4(x)＝2x[答案] D[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D二、填空题7．现测得(x，)的两组对应值分别为(1,2)，(2,)，现有两个待选模型，甲：＝x2＋1，乙：＝3x－1，若又测得(x，)的一组对应值为(3,102)，则应选用________作为函数模型．[答案] 甲8．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．[答案] (1＋p)12－19．在某种金属材料的耐高温实验中，温度(℃ )随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法________①前分钟温度增加越越快；②前分钟温度增加越越慢；③分钟后温度保持匀速增加；④分钟后温度保持不变．[答案] ②③[解析] 前分钟，温度随x增加而增加，增长速度越越慢；分钟后，温度随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③ 正确．三、解答题10．(2013～2014沈阳高一检测)某种新栽树木年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x＜20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？[解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)(1＋x%),年后再重栽的木才量为2Q(1＋20%)，画出函数＝(1＋x%)与＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)＝2的近似根x＝1487，故当x＜1487时就考虑重栽，否则让它继续生长．11．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线＝ae－nt，假设过分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有a8[解析] 由题意得，ae－n＝a－ae－n，即e－n＝12，设再过t分钟水桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋)＝a8，所以(12)t＋＝(e－n)t＋＝e－n(t＋)＝18＝(12)3，∴t＋＝3，∴t＝10∴再过10分钟水桶甲中的水只有a812．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为2，4,8为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型＝ax2＋bx＋，乙选择了模型＝p•qx＋r，其中为患病人数，x为月份数，a，b，，p，q，r都是常数．结果4月，月，6月份的患病人数分别为66,82,11，你认为谁选择的模型较好？[解析] 依题意：得a•12＋b•1＋＝2，a•22＋b•2＋＝4，a•32＋b•3＋＝8，即a＋b＋＝2，4a＋2b＋＝4，9a＋3b＋＝8，解得a＝1，b＝－1，＝2∴甲：1＝x2－x＋2，又p•q1＋r＝2 ①p•q2＋r＝4 ②p•q3＋r＝8 ③①－②，得p•q2－p•q1＝2 ④②－③，得p•q3－p•q2＝4 ⑤⑤÷④，得q＝2，将q＝2代入④ 式，得p＝1，将q＝2，p＝1代入①式，得r＝0，∴乙：2＝2x＋0，计算当x＝4时，1＝64，2＝66；当x＝时，1＝72，2＝82；当x＝6时，1＝82，2＝114可见，乙选择的模型较好．