2015_2016高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型课时作业新人教A版必修1 2015_2016高中数学3.2.2函数模型的应用实例学业达标测试新人教A版必修1

2015_2016高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型课时作业新人教A版必修1活页作业(二十五)几类不同增长的函数模型知识点及角度难易度及题号基础中档稍难函数模型的增长差异1、2、68图象分析函数模型增长趋势35函数模型的选择4、7910、11、121．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)A．f1(x)＝x2　　　　　　B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.答案：D2．某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是(　　)A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减解析：设原来商品价格为1个单位，则1×(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.9216＝92.16%，∴减少了7.84%.答案：A10 3.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法：①前5min温度增加越来越快；②前5min温度增加越来越慢；③5min后温度保持匀速增加；④5min后温度保持不变．其中说法正确的是(　　)A．①④　　B．②④　　C．②③　　D．①③解析：前5min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．故选C.答案：C4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．故选D.答案：D5．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是______．10 解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，∴x＝－1.答案：－16．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；(2)骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；(3)骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；(4)骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是______．解析：看时间轴易知(1)正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此(2)正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故(3)正确，(4)错误．答案：(1)(2)(3)7．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f(x)与g(x)的图象如下．根据图象易得：当0≤xg(x)；10 当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.答案：C9.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______小时后，学生才能回到教室．解析：(1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，∴设y＝kt，代入点(0.1,1)，10 得k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．同理，将点(0.1,1)代入解析式y＝t－a，得a＝0.1，综上可知y＝(2)令y＝0.25，代入y＝t－0.1，解得t＝0.6，∴从药物释放开始，至少需要0.6小时后，学生才能回到教室．答案：(1)y＝(2)0.610．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当xh(x)>g(x)；当1h(x)；当eh(x)；当af(x)；当bf(x)；当cg(x)；10 当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．11．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)．若以购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱．解：由优惠办法(1)可得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)；由优惠办法(2)可得函数关系式为y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)对以上两种优惠办法比较得：y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)令y1－y2＝0，得x＝34.可知当购买34只茶杯时，两种付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱．12．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，得10 ，解此方程组得.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数关系式为Q＝t2－t＋.(2)当t＝－＝150(天)时，西红柿种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/102kg)．所以西红柿种植成本最低时的上市天数是150天时，最低种植成本为100元/102kg.几类常见函数模型的增长特点(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动中时间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>1)，通过图象可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力．(3)对数函数模型：能用对数型函数表达的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1)，函数值增大的速度越来越慢．10 2015_2016高中数学3.2.2函数模型的应用实例学业达标测试新人教A版必修1【优化指导】2015-2016高中数学3.2.2函数模型的应用实例学业达标测试新人教A版必修11.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解析：由图象知，在不同的时间段内，行驶路程的折线图不同，故对应函数模型应为分段函数．答案：A2．某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为(　　)A．100台　　　　　　　　B．120台C．150台D．180台解析：由题意，生产者不亏本，应有3000＋20x－0.1x2≤25x，即x2＋50x－3000≥0，∴x≥150或x≤－200(舍去)．10 又0＜x＜240，x∈N*，∴当最低产量为150时，生产者不亏本．答案：C3．某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，到2015年1月1日可取款(不计利息税)(　　)A．a(1＋x)5元B．a(1＋x)6元C．a(1＋x5)元D．a(1＋x6)元解析：2011年1月1日可取款a(1＋x)元，2012年1月1日可取款a(1＋x)2元，同理可得2015年1月1日可取款a(1＋x)5元．答案：A4．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)．现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用______作为拟合模型较好．解析：作出三个点，比较两个函数图象，选甲更好．答案：甲5．长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，面积最大．此时x＝________，面积S＝________.解析：根据题目条件0＜＜3，即0＜x＜6，所以S＝(4＋x)＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2(0＜x＜6)．故当x＝1时，S取得最大值.答案：1　6．某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的位移x(km)表示为时间t(h)(从A10 地出发时开始)的函数，并画出函数的图象；再把车速vkm/h表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．解：汽车离开A地的位移xkm与时间th之间的关系式是：x＝它的图象如下图左所示．速度vkm/h与时间th的函数关系式是：v＝它的图象如下图右所示．10